8.1.3 向量数量积的坐标运算-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第三册同步全程学习课时作业word（人教B版2019）

8.1.3　向量数量积的坐标运算 选题明细表 知识点、方法 题号 向量数量积的坐标运算 2,3,9 有关向量垂直问题 4,5,6 向量的长度和夹角问题 1,7,8 向量数量积坐标运算的综合应用 10,11 基础巩固 1.(2019·全国Ⅱ卷)已知向量a=(2,3),b=(3,2),则|a-b|等于(　A　) A. B.2 C.5 D.50 解析:由已知,a-b=(2,3)-(3,2)=(-1,1), 所以|a-b|==.故选A. 2.已知向量a=(0,-2),b=(1,),则向量a在b上的投影的数量为(　D　) A. B.3 C.- D.-3 解析:向量a在b上的投影的数量为==-3.故选D. 3.若a=(3,-1),b=(x,-2),且<a,b>=,则x 等于(　A　) A.1 B.-1 C.4 D.-4 解析:因为a·b=|a||b|cos , 所以3x+2=××, 解得x=1或x=-4.又因为<,所以3x+2>0,所以x>-,故x=1.故选A. 4.(多选题)已知点A(1,2),B(7,0),C(3,-2),则下列关于△ABC的结论正确的是(　ACD　) A.是直角三角形 B.是锐角三角形 C.是等腰三角形 D.三角形面积为10 解析:由点A(1,2),B(7,0),C(3,-2),得=(2,-4),=(-4,-2), 所以·=0,得⊥,且||=||=2,所以△ABC是等腰直角三角形,所以S△ABC=||2=10.故选ACD. 5.已知向量a=(1,3),b=(-1,t),t∈R.若向量a与b共线,则t=　　　　;若a⊥b,则t=　　　　.  解析:因为a=(1,3),b=(-1,t)(t∈R), 若a∥b,则1·t=3×(-1),即t=-3; 若a⊥b,则1×(-1)+3·t=0,即t=. 答案:-3　 6.已知a=(1,-1),b=(-2,1),c=λa+b,d=a-λb,且 c⊥d,则实数λ= 　　　　.  解析:因为c=λa+b=λ(1,-1)+(-2,1)=(λ-2,-λ+1), d=a-λb=(1,-1)-λ(-2,1)=(1+2λ,-1-λ), 又因为c⊥d, 所以c·d=0, 即(λ-2)(1+2λ)+(λ-1)(λ+1)=0, 所以λ2-λ-1=0, 解得λ=. 答案: 能力提升 7.设x,y∈R,向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且a⊥c,b∥c,则|a+b|等于(　B　) A. B. C.2 D.10 解析:因为a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4), 由a⊥c得a·c=0,即2x-4=0,所以x=2. 由b∥c,得1×(-4)-2y=0,所以y=-2. 所以a=(2,1),b=(1,-2), 所以a+b=(3,-1), 所以|a+b|==. 故选B. 8.已知向量a=(cos θ,sin θ),b=(3,0),则|2a-b|的最大值为(　D　) A.4 B.2 C.25 D.5 解析:|2a-b|=== ,因此当cos<2a,b>=-1时,|2a-b|取得最大值5.故选D. 9.已知点A(3,1),向量 绕原点O顺时针旋转 后得到 ,则点B的坐标为　　　　.  解析:设B(x,y). 由已知可得x<0,y>0. 则 解得或 所以点B的坐标为(-1,3). 答案:(-1,3) 10.定义平面向量的一种运算:a☉b=|a+b|×|a-b|×sin<a,b>,其中<a,b>是a与b的夹角.给出下列命题:①若<a,b>=90°,则a☉b=a2+b2;②若 |a|=|b|,则(a+b)☉(a-b)=4a·b;③若|a|=|b|,则a☉b≤2|a|2;④若a=(1,2),b=(-2,2),则(a+b)☉b=.其中真命题的序号是 　　　　.  解析:①中,因为<a,b>=90°,则|a+b|=|a-b|, 所以a☉b=|a+b|×|a-b|=(a+b)2=a2+b2,所以①成立; ②中,因为|a|=|b|,所以<a+b,a-b>=90°, 所以(a+b)☉(a-b)=|2a|·|2b|=4|a||b|,所以②不成立; ③中,因为|a|=|b|,所以a☉b=|a+b|×|a-b|×sin<a,b>≤|a+b|× |a-b|≤=2|a|2,所以③成立; ④中,因为a=(1,2),b=(-2,2),所以a+b=(-1,4),又cos<a+b,b>= ==,<a+b,b>∈[0,π], 所以sin<a+b,b>=,所以(a+b)☉b=|a+b+b|×|a+b-b|× sin<a+b,b>=3××=,所以④不成立.故真命题的序号是①③. 答案:①③ 应用创新 11.如图,在△ABC中,D是BC的中点,E,F是AD上的两个三等分点,