8.2.1 两角和与差的余弦-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第三册同步全程学习课件PPT（人教B版2019）

8.2　三角恒等变换 8.2.1　两角和与差的余弦 数学 学习目标 1.能利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式,进一步体会向量方法的 作用. 2.能利用两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式. 3.能利用两角和与差的余弦公式化简、求值. 数学 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 数学 知识梳理·自主探究 知识探究 两角和与差的余弦公式 (1)两角差的余弦公式 Cα-β:cos (α-β)= .  (2)两角和的余弦公式 Cα+β:cos (α+β)= .  cos αcos β+sin αsin β cos αcos β-sin αsin β 数学 公式的记忆方法: ①理顺公式间的联系.C(α-β) C(α+β). ②注意公式的结构特征和符号规律. 对于公式Cα-β,Cα+β,用口诀“余余正正号相反”记忆公式.  公式逆用:cos αcos β+sin αsin β=cos(α-β),cos αcos β- sin αsin β=cos(α+β). 数学 拓展总结 (1)公式Cα-β与Cα+β都是三角恒等式,既可正用,也可逆用,要注意公式的结构特征. 如:cos αcos β±sin αsin β=cos (α∓β). (2)要注意充分利用已知角与未知角之间的联系,通过恰当的角的变换,创造出应用公式的条件进行求解. 提醒:注意角的范围对三角函数值符号的限制. 数学 师生互动·合作探究 探究点一 利用两角和与差的余弦公式化简求值 数学 数学 数学 (2)求下列各式的值: ②cos 75°cos 15°-sin 75°sin 195°. 数学 方法总结 (1)在两角和与差的余弦公式中,α,β可以是单个角,也可以是两个角的和或差,在运用公式时常将两角的和或差视为一个整体. (2)在两角和与差的余弦公式求值应用中的一般思路: ①把非特殊角转化为特殊角的和或差,正用公式直接求值. ②在转化过程中,充分利用诱导公式,构造两角和或差的余弦公式的结构形式,然后逆用公式求值. 数学 数学 (2)化简下列各式: ①cos(θ+21°)cos(θ-24°)+sin(θ+21°)sin(θ-24°); 数学 (2)化简下列各式: ②-sin 167°sin 223°+sin 257°sin 313°. 数学 数学 探究点二 给值求值问题 数学 数学 方法总结 给值求值的解题步骤: (1)找角的差异.已知某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值,先注意观察已知角与所求表达式中角的差异. (3)求解.结合公式Cα±β求解. 数学 数学 探究点三 给值求角问题 数学 数学 方法总结 (1)这类问题的求解,关键环节有两点: ①求出所求角的某种三角函数值;②确定角的范围,一旦做好这两个环节,结合三角函数的性质与图像,角可求解. (2)确定应用所求角的哪种三角函数值,要根据具体题目,结合所给角的范围确定. 数学 数学 数学 当堂检测 A 数学 D 数学 数学 D 数学 4.cos 22°cos 38°-sin 22°sin 38°的值为　　　　.  数学 5.在△ABC中,若sin Asin B<cos Acos B,则△ABC一定为　　　三角形.  解析:由sin Asin B<cos Acos B,得cos(A+B)>0,所以cos C<0,所以C>90°,所以△ABC为钝角三角形. 答案:钝角 数学 点击进入 课时训练·分层突破 数学 (3)注意角的拆分技巧的积累,如:α=(α+β)-β=(α-β)+β=+等. [例1] (1)(多选题)下列各式正确的是(　　) A.cos(α+β)=cos α+cos β B.cos α+sin α=cos(-α) C.cos(α+β)cos β+sin(α+β)sin β=cos α D.cos(70°+α)cos(10°+α)+sin(70°+α)·sin(170°-α)= (1)解析:由两角和的余弦公式可知A错误; cos α+sin α=coscos α+sinsin α=cos(-α),故B正确; cos(α+β)cos β+sin(α+β)sin β=cos[(α+β)-β]=cos α,故C正确; cos(70°+α)cos(10°+α)+sin(70°+α)sin(170°-α) =cos(70°+α)cos(10°+α)+sin(70°+α)·sin[180°-(10°+α)] =cos(70°+α)cos(10°+α)+sin(70°+α)·sin(10°+α) =cos(70°+α-10°-α)=cos 60°=,故D正确. 故选B