8.2.3 倍角公式-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第三册同步全程学习课件PPT（人教B版2019）

8.2.3　倍角公式 数学 学习目标 1.理解倍角公式的推导过程,知道倍角公式与和角公式之间的内在联系. 2.掌握倍角的正弦、余弦、正切公式,并能运用这些公式进行简单的恒等变换. 数学 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 数学 知识梳理·自主探究 知识探究 倍角公式 S2α:sin 2α= .  C2α:cos 2α= = =1-2sin2α. 2sin αcos α cos2α-sin2α 2cos2α-1 T2α:tan 2α= . 数学 思考1:你是怎样理解倍角公式中的“倍角”二字的? 思考2:二倍角正弦公式有哪些常见变形? ②1±sin 2α=(sin α±cos α)2. 思考3:二倍角余弦公式有哪些常见变形? 数学 拓展总结 数学 师生互动·合作探究 探究点一 利用倍角公式化简、求值 数学 数学 数学 (2)化简求值: ③1-2sin2750°; 数学 (2)化简求值: 数学 方法总结 数学 [针对训练] 求下列各式的值. 数学 [针对训练] 求下列各式的值. (3)cos 20°cos 40°cos 80°; 数学 [针对训练] 求下列各式的值. 数学 数学 数学 探究点二 利用倍角公式解决条件求值问题 数学 方法总结 (1)条件求值问题常有两种解题途径: ①对题设条件变形.把条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢; ②对结论变形.将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢,以便将题设条件代入结论. 数学 数学 探究点三 利用倍角公式证明三角恒等式 数学 数学 方法总结 证明问题的原则及一般步骤: (1)观察式子两端的结构形式,一般是从复杂到简单,如果两端都比较复杂,就将两端都化简,即采用“两头凑”的思想. (2)证明的一般步骤是:先观察,找出角、函数名称、式子结构等方面的差异,然后本着“复角化单角”“异名化同名”“变量集中”等原则,设法消除差异,达到证明的目的. 数学 [针对训练] 证明下列恒等式. 数学 [针对训练] 证明下列恒等式. 数学 [备用例2] 求证:cos2(A+B)-sin2(A-B)=cos 2Acos 2B. 数学 探究点四 倍角公式的综合应用 数学 数学 方法总结 数学 [针对训练] 已知函数f(x)=sin(π-ωx)cos ωx+cos2ωx(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值; 数学 [针对训练] 已知函数f(x)=sin(π-ωx)cos ωx+cos2ωx(ω>0)的最小正周期为π. 数学 数学 (2)求f(x)的单调递减区间. 数学 当堂检测 D 数学 D 数学 3.2sin222.5°-1=　　　　.  数学 数学 点击进入 课时训练·分层突破 数学 答案:倍角公式中的“倍角”是相对的,对于两个角的比值等于2的情况都成立,如2α是α的二倍角,8α是4α的二倍角,是的二倍角等. 答案:正弦的二倍角公式的常见变形有: ①sin αcos α=sin 2α,cos α=. 答案:常见变形有①1+cos 2α=2cos2α;②cos2α=;③1-cos 2α=2sin2α;④sin2α=. (1)二倍角的“广义理解”:二倍角是相对的,如4α是2α的二倍角,α是的二倍角等,“倍”是描述两个数量之间关系的,这里蕴含着换元思想. (2)对于S2α和C2α,α∈R,但是在使用T2α时,要保证分母1-tan 2α≠0,且tan α有意义,即α≠kπ+(k∈Z),且α≠kπ-(k∈Z),且α≠kπ+(k∈Z).当 α= kπ+(k∈Z)及α=kπ-(k∈Z)时,tan 2α的值不存在;当α=kπ+(k∈Z)时, tan α的值不存在,故不能用倍角公式求tan 2α,此时可以利用诱导公式直接求tan 2α. (3)倍角公式的逆用更能拓展思路,我们要熟悉这组公式的逆用,如sin 3αcos 3α= sin 6α. [例1] (1)(多选题)下列化简正确的是(　　) A.cos 82°sin 52°-sin 82°cos 52°= B.sin 15°sin 30°sin 75°= C.=- D.cos215°-sin215°= (1)解析:因为cos 82°sin 52°-sin 82°cos 52°=sin 8°sin 52°- cos 8°cos 52°=-cos(8°+52°)=-cos 60°=-,故A错误; 因为sin 15°sin 30°sin 75°=sin 15°cos 15°=sin 30°=,故B错误; 因为=tan(48°+72°)=tan 120°=-tan 60°=-,故C正确; 因为cos215°-sin215°=co