8.2.2 两角和与差的正弦、正切-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第三册同步全程学习课件PPT（人教B版2019）

8.2.2　两角和与差的正弦、正切 数学 学习目标 1.掌握两角和与差的正弦、正切公式. 2.会用两角和与差的正弦、正切公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等. 3.熟悉两角和与差的正弦、正切公式的灵活运用,了解公式的正用、逆用、变形应用,以及角的变换的常用方法. 数学 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 数学 知识梳理·自主探究 知识探究 1.两角和与差的正弦公式 名称 简记 符号 公式 使用 条件 两角和 的正弦 Sα+β sin(α+β)= . α,β∈R 两角差 的正弦 Sα-β sin(α-β)= . α,β∈R sin αcos β+cos αsin β sin αcos β-cos αsin β 数学 思考1:如何利用两角差的余弦公式和诱导公式得到两角和的正弦公式? 思考2:如何推导两角差的正弦公式? 数学 数学 3.两角和与差的正切公式 数学 思考3:两角和与差的正切公式对任意角α,β均成立吗? 思考4:两角和的正切公式的常见变形公式有哪些? (3)tan α+tan β+tan α·tan β·tan (α+β)=tan (α+β); 数学 拓展总结 (2)使用和差公式时,不仅要会正用,还要能够逆用.如化简sin βcos(α+β)-cos βsin(α+β)时,不要将 cos(α+β)和sin(α+β)展开,而应采用整体思想,进行如下变形: sin βcos(α+β)-cos βsin(α+β)=sin[β-(α+β)]=sin(-α)=-sin α. 数学 ②公式的变形应用:只要用到tan α±tan β,tan αtan β时,有灵活应用公式Tα±β的意识,就不难想到解题思路. (4)运用和差公式求值、化简、证明时,要注意灵活进行三角变换,分析条件中的角与问题结论中的角之间的联系,选用恰当的公式. 数学 师生互动·合作探究 探究点一 利用公式化简求值 数学 答案:(1)C　 数学 答案:(2)C　 数学 答案:(3)-1　 数学 (4)sin 157°cos 67°+cos 23°sin 67°的值为　　　　.  解析:(4)原式=sin(180°-23°)cos 67°+cos 23°sin 67° =sin 23°cos 67°+cos 23°sin 67°=sin(23°+67°) =sin 90°=1. 答案:(4)1　 数学 答案:(5)0 数学 方法总结 (1)对于非特殊角的三角函数式,要想利用两角和与差的正弦、正切公式求出具体数值,一般有以下三种途径: ①化为特殊角的三角函数值; ②化为正负相消的项消去,求值; ③化为分子、分母形式,进行约分,再求值. (2)在进行求值过程的变换中,一定要本着先整体后局部的基本原则,先整体分析三角函数式的特点,如果整体符合三角公式,再整体变形,然后进行局部的变换. 数学 [针对训练] 化简求值: 数学 [针对训练] 化简求值: 数学 探究点二 给值求角 数学 方法总结 给值求角问题的步骤: (1)求所求角的某个三角函数值; (2)确定所求角的范围(范围讨论得过大或过小,会使求出的角不合题意或漏解),根据范围找出角. 数学 数学 数学 探究点三 辅助角公式的应用 数学 数学 数学 方法总结 (2)形式选择:化为正弦还是余弦,要看具体条件而定,一般要求变形后角α的系数为正,这样更有利于研究函数的性质. 数学 数学 当堂检测 √ 1.判断下列命题是否正确.(正确的在(　)里打“√”,错误的打“×”) (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意的.(　　) 解析:(1)正确.根据公式的推导过程可得. (2)存在α,β∈R,使得sin(α-β)=sin α-sin β成立.(　　) 解析:(2)正确.当α=45°,β=0°时,sin(α-β)=sin α-sin β. (3)对于任意α,β∈R,sin(α+β)=sin α+sin β都不成立.(　　) 解析:(3)错误.当α=30°,β=-30°时,sin(α+β)=sin α+sin β成立. (4)sin 54°cos 24°-sin 36°sin 24°=sin 30°.(　　) 解析:(4)正确.因为sin 54°cos 24°-sin 36°sin 24°=sin 54°cos 24°-cos 54°sin 24°=sin(54°-24°)=sin 30°,故原式正确. √ × √ 数学 √ (5)存在α,β∈R,使tan(α+β)=tan α+tan β成立.(　　) 解析:(5)当α=0°,β=0°时,tan(α+β)=tan α+tan β成立. 解析:(7