8.1.3 向量数量积的坐标运算-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第三册同步全程学习课件PPT（人教B版2019）

8.1.3　向量数量积的坐标运算 数学 学习目标 1.掌握向量数量积的坐标表达式,能进行平面向量数量积的坐标运算. 2.能运用数量积表示两个向量的夹角.计算向量的长度,会判断两个平面向量的垂直关系. 数学 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 数学 知识梳理·自主探究 知识探究 1.向量数量积的坐标运算 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b= . 2.向量的长度、距离和夹角公式 (1)向量的长度:已知a=(x,y),则|a|= . (3)两向量的夹角:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 cos<a,b>= . x1x2+y1y2 数学 思考:与向量a=(x,y)同向的单位向量的坐标如何表示? 3.用向量的坐标表示两个向量垂直的条件 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b⇔ . x1x2+y1y2=0 数学 师生互动·合作探究 探究点一 平面向量数量积的坐标运算 答案:(1)D　 数学 解析:(2)a·b=(-1,2)·(3,2)=(-1)×3+2×2=1, a·(a-b)=(-1,2)·[(-1,2)-(3,2)]=(-1,2)·(-4,0)=4. 答案:(2)1　4 数学 (3)已知a=(2,-1),b=(3,2),若存在向量c,满足a·c=2,b·c=5,则向量c= 　　　. 数学 方法总结 (1)进行数量积运算时,要正确使用公式a·b=x1x2+y1y2,并能灵活运用以下几个关系: |a|2=a·a;(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2;(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2. (2)通过向量的坐标表示可实现向量问题的代数化,应注意与函数、方程等知识的联系. (3)向量数量积的运算有两种思路:一种是向量式,另一种是坐标式,两者相互补充. 数学 解:(1)a·b=(1,3)·(2,5)=1×2+3×5=17. [针对训练] 已知向量a=(1,3),b=(2,5),c=(2,1).求: (1)a·b; (2)(a+b)·(2a-b); 解:(2)因为a+b=(1,3)+(2,5)=(3,8), 2a-b=2(1,3)-(2,5)=(2,6)-(2,5)=(0,1), 所以(a+b)·(2a-b)=(3,8)·(0,1)=3×0+8×1=8. 数学 解:(3)(a·b)·c=17c=17×(2,1)=(34,17), a·(b·c)=a·[(2,5)·(2,1)]=(2×2+5×1)a=9a=(9,27). [针对训练] 已知向量a=(1,3),b=(2,5),c=(2,1).求: (3)(a·b)·c,a·(b·c). 数学 探究点二 向量的模的问题 答案:(1)D　 数学 答案:(2)-1或2 解析:(2)因为a=(-1,x),b=(x+2,x),又|a+b|=|a-b|,两边平方得到a·b=0,根据向量的坐标运算公式得到x2-x-2=0,解得x=-1或2. 数学 方法总结 向量模的问题的解题策略: (1)字母表示的运算,利用|a|2=a2将向量模的运算转化为向量的数量积的运算. 数学 (2)若c=a-(a·b)·b,求|c|. 数学 探究点三 向量的夹角与垂直问题 [例3] (1)已知向量a=(2,2),b=(-8,6),则cos<a,b>=　　　　.  数学 (2)已知a=(3,4),b=(2,-1),且(a+mb)⊥(a-b),问:实数m为何值? 数学 方法总结 (1)利用数量积的坐标表示求两向量夹角的步骤: ①求向量的数量积.利用向量数量积的坐标表示求出这两个向量的数量积. ④求角.由向量夹角的范围及cos θ求θ的值. (2)涉及非零向量a,b垂直问题时,一般借助a⊥b⇔a·b=x1x2+y1y2=0来解决. 数学 [针对训练] (1)已知向量a=(1,2),b=(2,x),若a与b垂直,则实数x的值是 (　　) A.4 B.-4 C.1 D.-1 (1)解析:因为a=(1,2),b=(2,x),a与b垂直,所以a·b=0,即1×2+2x=0,解得x=-1.故选D. 数学 (2)已知平面向量a=(1,3),b=(2,λ),设a与b的夹角为θ. ①若θ=120°,求λ的值; 数学 (2)已知平面向量a=(1,3),b=(2,λ),设a与b的夹角为θ. ②要使θ为锐角,求λ的取值范围. 数学 探究点四 向量数量积坐标运算的综合应用 答案:1　3 数学 方法总结 平面几何问题中的向量方法: (1)坐标法:把几何图形放在适当的坐标系中,就赋予了有关点与向量具体的坐标,这样就能进行相应的代数运算和向量运算,从而使问题得到解决 (如例4). (2)基向量法:适当选