8.1.2 向量数量积的运算律-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第三册同步全程学习课件PPT（人教B版2019）

8.1.2　向量数量积的运算律 数学 学习目标 1.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式. 2.会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明. 数学 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 数学 知识梳理·自主探究 知识探究 1.向量数量积的运算律 交换律: . 分配律:(a+b)·c= . 2.平面向量数量积的运算性质 (1)(a+b)2=a2+2a·b+b2; (2)(a-b)2= ; (3)(a+b)·(a-b)= ; (4)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2c·a. a·b=b·a a·c+b·c a2-2a·b+b2 a2-b2 数学 拓展总结 (1)向量的数量积对结合律一般不成立,因为(a·b)·c=|a||b|cos<a,b>·c是一个与c共线的向量,而a·(b·c)=a·(|b||c|cos<b,c>)=|b||c|cos<b,c>·a是一个与a共线的向量,两者一般不同. 数学 师生互动·合作探究 探究点一 向量数量积的运算律 数学 数学 数学 方法总结 求向量的数量积时,常用到的结论: (1)a2=|a|2; (2)(xa+yb)·(mc+nd)=xma·c+xna·d+ymb·c+ynb·d,其中x,y,m,n∈R. 数学 答案:(1)①③④ 解析:(1)根据向量的数量积的分配律知①正确; 因为[(b·c)·a-(c·a)·b]·c=(b·c)·(a·c)-(c·a)·(b·c)=0, 所以(b·c)·a-(c·a)·b与c垂直,②错误; 因为a,b不共线,所以|a|,|b|,|a-b|组成三角形, 所以|a|-|b|<|a-b|成立,③正确; ④正确.故正确命题的序号是①③④. 数学 答案:(2)0 (2)已知向量a与b的夹角为120°,且|a|=4,|b|=2,则(2a-b)·(a+3b)= 　　　　.  解析:(2)(2a-b)·(a+3b)=2a2+6a·b-a·b-3b2=2|a|2+5a·b-3|b|2= 2×16+5×4×2×cos 120°-3×4=0. 数学 探究点二 利用夹角和垂直求参数 数学 数学 数学 方法总结 利用向量共线或垂直的条件及向量夹角公式,列出含有参数的方程,即可得出参数的值. 数学 数学 探究点三 数量积在平面几何中的应用 [例3] 如图,若D是△ABC内的一点,且AB2-AC2=DB2-DC2,求证:AD⊥BC. 数学 方法总结 用向量方法解决平面几何问题的步骤: 数学 [针对训练] 如图,平行四边形ABCD中,已知AD=1,AB=2,对角线BD=2,求对角线AC的长. 数学 [备用例题] 如图,在正三角形ABC中,D,E分别是AB,BC上的三等分点,且AE,CD交于点P.求证:BP⊥CD. 数学 数学 数学 当堂检测 1.思考辨析(对的打“√”,错的打“×”) (1)(a·b)·c=a·(b·c).(　　) 解析:(1)向量(a·b)·c与c共线,a·(b·c)与a共线,不一定相等. (2)(a·b)2=a2·b2.(　　) 解析:(2)(a·b)2=(|a||b|·cos θ)2=a2b2cos2θ. (3)a·[b·(a·c)-c·(a·b)]=0.(　　) 解析:(3)a·[b·(a·c)-c·(a·b)]=(a·b)(a·c)-(a·c)(a·b)=0. × × √ 数学 B 解析:b·c=|b||c|cos 45°=1,所以a·(b·c)=a.故选B. 数学 解析:由题意,得c·d=0,所以(2a+3b)·(ka-4b)=0,所以2ka2-8a·b+ 3ka·b-12b2=0,所以2k=12,所以k=6.故选B. B 数学 4.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为60°,则|a-b|=　　　.  数学 答案:-16 数学 点击进入 课时训练·分层突破 数学 (2)在实数中,若ab=bc,b≠0,则a=c,在向量中,a·b=b·c,b≠0a=c. [例1] 已知两个单位向量e1与e2的夹角为60°,求: (1)e1·e2; 解:(1)e1·e2=|e1||e2|cos 60°=. [例1] 已知两个单位向量e1与e2的夹角为60°,求: (2)(2e1-e2)·(-3e1+2e2); 解:(2)由(1)可知e1·e2=,又|e1|=|e2|=1, 所以(2e1-e2)·(-3e1+2e2) =-6+3e2·e1+4e1·e2-2 =-6|e1|2+3×+4×-2|e2|2 =-6+-2=-. 解:(3)(e1+e2)2=+2e1·e2+=1+1+1=3. [例1] 已知两个单位向量e1与