7.3.1 正弦函数的性质与图像-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第三册同步全程学习课件PPT（人教B版2019）

7.3　三角函数的性质与图像 7.3.1　正弦函数的性质与图像 数学 学习目标 1.借助单位圆了解周期函数与最小正周期的意义. 2.了解正弦函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值. 3.能利用性质解决一些简单的问题. 4.能用五点法画出正弦函数的图像. 数学 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 数学 知识梳理·自主探究 知识探究 1.周期函数 (1)周期函数的概念. 一般地,对于函数f(x),如果存在一个 常数T,使得对定义域内的每一个x,都满足 ,那么就称函数f(x)为 , 称为这个函数的 . (2)最小正周期. 对于一个周期函数f(x),如果在它的所有周期中存在一个最小的 ,那么这个最小的 就称为f(x)的最小正周期. 非零 f(x+T)=f(x) 周期函数 非零常数T 周期 正数 正数 数学 思考1:所有的函数都具有周期性吗? 答案:不是.只有同时符合周期函数定义中的两个条件的函数才具有周期性. 思考2:周期函数都有最小正周期吗? 答案:周期函数不一定存在最小正周期.例如,对于常数函数f(x)=c(c为常数, x∈R),所有非零实数T都是它的周期,而最小正周期是不存在的,所以常数函数没有最小正周期. 数学 2.正弦函数的性质 函数 y=sin x 定义域 R 值域 . 最值 当x= 时,ymax=1; 当x= 时,ymin=-1 奇偶性 函数 周期性 最小正周期为 . 单调性 在 上递增,在 上递减 零点 x=kπ(k∈Z) [-1,1] 奇 2π 数学 3.正弦函数的图像 (0,0) (π,0) (2π,0) (kπ,0)(k∈Z) 数学 4.正弦曲线 一般地,y=sin x的函数图像称为正弦曲线. 数学 拓展总结 (1)对周期函数的两点说明: ①并不是每一个函数都是周期函数,若函数具有周期性,则其周期也不一定唯一. ②如果T是函数f(x)的一个周期,则nT(n∈Z,且 n≠0)也是f(x)的周期. (2)正弦函数的性质: ①正弦函数有单调区间,但不是定义域上的单调函数,即正弦函数在整个定义域内不单调. ②由单位圆可以看出,当角的终边在x轴上时,角的正弦值为0,所以正弦函数的零点为kπ(k∈Z). (3)五点法作图中的“五点”是指函数的最高点、最低点,以及图像与坐标轴的交点.这是作正弦函数图像最常用的方法. 数学 师生互动·合作探究 探究点一 正弦函数的定义域及值域(最值) 答案:(1)AC　 数学 (2)函数y=cos2x+2sin x-2,x∈R的值域为　　　　　.  解析:(2)y=cos2x+2sin x-2=-sin2x+2sin x-1=-(sin x-1)2. 因为-1≤sin x≤1,所以-4≤y≤0, 所以函数y=cos2x+2sin x-2,x∈R的值域为[-4,0]. 答案:(2)[-4,0] 数学 方法总结 常见的三角函数求值域或最值的类型: (1)形如y=asin2x+bsin x+c(a≠0)的三角函数,可先令sin x=t,将函数y=asin2x+bsin x+c(a≠0)化为关于t的二次函数y=at2+bt+c(a≠0),根据二次函数的单调性求值域(最值). (2)对于形如y=asin x(或y=acos x)的函数的最值还要注意对a的讨论. 数学 [针对训练] (1)函数y=log2(sin x)的定义域为　　　　　　　　.  (1)解析:据题意知sin x>0, 得x∈(2kπ,2kπ+π)(k∈Z). 答案:(2kπ,2kπ+π)(k∈Z) (2)求函数y=1-2sin2x+sin x的值域. 数学 数学 数学 探究点二 正弦函数的奇偶性及应用 [例2] 判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)=lg(1-sin x)-lg(1+sin x); 数学 [例2] 判断下列函数的奇偶性. 数学 方法总结 判断函数奇偶性的两个关键点: 关键点一:看函数的定义域是否关于原点对称; 关键点二:看f(-x)与f(x)的关系. 对于三角函数奇偶性的判断,有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断. 数学 [针对训练] 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=cos(2π-x)-x3sin x; 解:(1)函数f(x)的定义域为R,关于原点对称, 又因为f(x)=cos x-x3sin x, f(-x)=cos(-x)-(-x)3sin(-x)=cos x-x3sin x=f(x), 所以f(x