7.3.5 已知三角函数值求角-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第三册同步全程学习课件PPT（人教B版2019）

7.3.5　已知三角函数值求角 数学 学习目标 1.掌握已知三角函数值求角的方法,会由已知的三角函数值求角,并会用 符号arcsin x,arccos x,arctan x表示角. 2.熟记一些比较常见的三角函数值及其在区间 [-2π,2π]上对应的角. 数学 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 数学 知识梳理·自主探究 知识探究 1.已知正弦值求角 在区间 内,满足sin x=y(y∈[-1,1])的x只有一个,这个x记作 ,即x= . 2.已知余弦值求角 在区间 内,满足cos x=y(y∈[-1,1])的x只有一个,这个x记作 ,即x= . arcsin y arcsin y [0,π] arccos y arccos y 数学 3.已知正切值求角 在区间 内,满足tan x=y(y∈R)的x只有一个,这个x记作 ,即x= . 思考:符号arcsin a(a∈[-1,1]),arccos a(a∈[-1,1]),arctan a(a∈R) 分别表示什么? arctan y arctan y 数学 师生互动·合作探究 探究点一 已知正弦值求角 数学 数学 数学 方法总结 (1)已知三角函数值求角的步骤: ①定象限:由已知函数值的正、负确定角所在的象限. ②找锐角:如果函数值为正,先求出对应的锐角α;若函数值为负,则先求出与其绝对值相对应的锐角α. ③求符合条件的角:根据角所在的象限,利用诱导公式写出[0,2π]范围内的角(α,π-α,π+α,2π-α);如果要求出[0,2π]范围外的角,则可利用终边相同的角有相同的三角函数值写出结果. (2)已知三角函数值求角常有两种方法:一是利用三角函数线,二是利用图像. 数学 ②α∈R. 数学 数学 探究点二 已知余弦值求角 数学 方法总结 cos x=a(-1≤a≤1),当x∈[0,π]时,则x=arccos a,当x∈R时,可先求得[0,2π]内的所有解,再利用周期性可求得{x|x=2kπ±arccos a,k∈Z}. 数学 [针对训练] 已知cos x=-0.287. (1)当x∈[0,π]时,求x; 解:(1)因为cos x=-0.287,且x∈[0,π], 所以x=arccos(-0.287). 数学 [针对训练] 已知cos x=-0.287. (2)当x∈R时,求x的取值集合. 数学 数学 探究点三 已知正切值求角 [例3] 已知tan x=-1,写出在区间[-2π,0]内满足条件的x的值. 数学 方法总结 (2)tan α=a,a∈R的解集为{α|α=kπ+arctan a,k∈Z}. 数学 数学 数学 ②若α∈R,求角α. 解:②α=kπ+arctan (-3)(k∈Z). 数学 当堂检测 × × (3)arctan(-1)=arcsin(-1).(　　) × 数学 C 数学 C 数学 数学 点击进入 课时训练·分层突破 点击进入 周练卷 数学 [-,] (-,) 答案:arcsin a表示在区间[-,]上,正弦值为a的角;arccos a表示在区间[0,π]上,余弦值为a的角;arctan a 表示在区间(-,)内,正切值为a的角. (1)解析:-2sin x≥0,解得sin x≤,利用单位圆解得2kπ-≤x≤2kπ+, k∈Z.当k=0时,A正确;当k=1时,C正确.故选AC. [例1] (1)(多选题)使不等式-2sin x≥0成立的x的取值集合是(　　) A.(-,) B.(,) C.(,) D.(-,-) (2)解:①因为x∈[-,],所以x=arcsin. (2)已知sin x=,根据下列条件求角x. ①x∈[-,]; 解:②因为x∈[0,2π],sin x=>0,所以x∈[0,π]. 当0≤x≤时,x=arcsin ,当<x≤π时,0≤π-x<,且sin(π-x)=sin x=, 所以π-x=arcsin ,则x=π-arcsin ,所以x=arcsin 或x=π-arcsin . (2)已知sin x=,根据下列条件求角x. ②x∈[0,2π]. 解:(1)①由于sin α=,且α为锐角,即α∈(0,), 所以α=arcsin . [针对训练] (1)已知sin α=,根据所给范围求角α. ①α为锐角; 解:②由于sin α=,且α∈R, 所以符合条件的所有角为α1=2kπ+arcsin (k∈Z),α2=2kπ+π-arcsin (k∈Z), 即α=nπ+(-1)narcsin (n∈Z). 解:(2)如图,作直线y=-交单位圆于A