7.3.4 正切函数的性质与图像-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第三册同步全程学习课件PPT（人教B版2019）

7.3.4　正切函数的性质与图像 数学 学习目标 1.能画出y=tan x的图像. 3.会求正切函数的定义域、值域,以及与正切函数有关的函数的周期、单调区间. 数学 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 数学 知识梳理·自主探究 知识探究 1.正切函数 对于任意一个角x,只要 ,就有唯一确定的正切值tan x与之对应,因此y=tan x是一个函数,称为正切函数. 2.正切函数y=tan x的性质与图像 函数 y=tan x 图像 数学 定义域 值域 . 奇偶性 . 周期 最小正周期为 . 单调性 在开区间 内单调递增 零点 . 对称 中心 . R 奇函数 π x=kπ(k∈Z) 数学 3.正切曲线 一般地,y=tan x的函数图像称为正切曲线. 数学 拓展总结 数学 师生互动·合作探究 探究点一 正切函数的定义域、值域 数学 (2)函数y=-3tan x+7的值域是　 ;  解析:(2)因为y=tan x,x∈R的值域为R, 所以y=-3tan x+7的值域也为R. 答案:(2)R 数学 答案:(3)(-∞,1) 数学 方法总结 数学 数学 数学 (2)求下列函数的值域. ②y=tan2x+4tan x-1. 解:②令t=tan x,则t∈R, y=t2+4t-1=(t+2)2-5≥-5, 所以函数y=tan2x+4tan x-1的值域为[-5,+∞). 数学 答案:R　[-tan 1,tan 1] [备用例题] (1) 函数y=tan(sin x)的定义域为　　　,值域为　　　　.  (1)解析:因为-1≤sin x≤1, 所以tan(-1)≤tan(sin x)≤tan 1, 所以y=tan(sin x)的定义域为R, 值域为[-tan 1,tan 1]. 数学 数学 数学 数学 探究点二 正切函数的单调性及应用 数学 (2)比较大小:tan 259°与tan 233°. 数学 方法总结 (2)运用正切函数单调性比较大小的步骤: ①运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内. ②运用单调性比较大小关系. 数学 数学 (2)比较tan 1,tan 2,tan 3的大小. 数学 探究点三 正切函数的周期性、奇偶性、对称性 数学 数学 方法总结 (2)判断函数的奇偶性,要先求函数的定义域,判断其是否关于原点对称.若不对称,则该函数无奇偶性;若对称,再判断f(-x)与f(x)的关系. 数学 数学 数学 学海拾贝 数学 思路点拨 对于不能直接求解的零点问题,常利用数形结合思想转化为图像的交点问题.数形结合的核心是以形助数和以数析形.解决函数问题通常会用到数形结合的思想方法,是直观想象素养的直接体现. 数学 [应用探究] 观察正切函数曲线,满足条件tan x>1的x的取值范围是　 . 数学 当堂检测 1.判断下列命题是否正确.(正确的在(　)里打“√”,错误的打“×”) (1)正切函数既没有最大值也没有最小值.(　　) 解析:(1)正切函数的值域为R,既没有最大值也没有最小值. (2)正切函数的对称中心是(kπ,0),k∈Z.(　　) (3)函数y=tan 2x的周期是2π.(　　) √ × × 数学 C 数学 B 数学 答案:(-∞,-1]∪[1,+∞) 数学 数学 点击进入 课时训练·分层突破 数学 2.借助正切线理解正切函数在(-,)上的性质. x≠+kπ,k∈Z {x|x∈R,且x≠kπ+,k∈Z} (kπ-,kπ+)(k∈Z) (,0)(k∈Z) 思考:我们能用五点法简便地画出正弦、余弦函数的简图,你能简便地画出函数y=tan x,x∈(-,)的简图吗? 答案:能.利用“三点两线法”,找三个关键点:(,1),(0,0),(-,-1),两条平行线: x=,x=-. 正切函数的单调性:正切函数在每一个开区间(-+kπ,+kπ)(k∈Z)上都是 从-∞增大到 +∞,故正切函数在每一个开区间(-+kπ,+kπ)(k∈Z)上都单调递增,但不能说函数y=tan x在定义域内是增函数. 解析:(1)由-≠+kπ,k∈Z, 得x≠--4kπ,k∈Z, 即函数的定义域为{x|x≠--4kπ,k∈Z}. [例1] (1)函数y=3tan(-)的定义域为　　　　　　　　;  答案:(1){x|x≠--4kπ,k∈Z} 解析:(3)因为-<x<,所以-<2x-<, 所以tan(2x-)<1,即函数的值域为(-∞,1). (3)函数y=tan(2x-),x∈(-,)的值域是