7.2.3 同角三角函数的基本关系式-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第三册同步全程学习课件PPT（人教B版2019）

7.2.3　同角三角函数的基本关系式 数学 学习目标 2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明. 数学 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 数学 知识梳理·自主探究 知识探究 同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系: . (2)商数关系: .  思考:对任意的角α,sin22α+cos22α=1是否成立? 答案:成立.平方关系中强调的同一个角且是任意的,与角的表达形式无关. sin2α+cos2α=1 数学 拓展总结 同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规 律,这里“同角”有两层含义:一是“角相同”,二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下). 数学 师生互动·合作探究 探究点一 利用同角三角函数的基本关系式求值 数学 数学 ②2sin αcos α+cos2α的值. 数学 方法总结 已知三角函数值求其他三角函数值的方法 数学 数学 答案:(1)B 数学 数学 数学 数学 (2)已知2cos2α+3cos αsin α-3sin2α=1. 求:①tan α; 数学 (2)已知2cos2α+3cos αsin α-3sin2α=1. 数学 探究点二 (1)sin θ-cos θ的值; sin α±cos α与sin α·cos α之间的关系 数学 (2)tan θ的值. 数学 方法总结 关于sin θ±cos θ,sin θcos θ的求值问题,一般利用三角恒等式,采用整体代入的方法求解.涉及的三角恒等式有: ①(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ; ②(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ; ③(sin θ+cos θ)2+(sin θ-cos θ)2=2; ④(sin θ-cos θ)2=(sin θ+cos θ)2-4sin θcos θ. 上述三角恒等式告诉我们:sin θ+cos θ,sin θ-cos θ,sin θcos θ可“知一求二”.但求sin θ+cos θ或sin θ-cos θ的值,要注意根据角的范围,判断出它们的符号. 数学 数学 数学 探究点三 三角函数式的化简 数学 数学 方法总结 三角函数式的化简技巧 (1)化切为弦,即把正切函数都化为正、余弦函数,从而减少函数名称,达到化繁为简的目的. (2)对于含有根号的,常把根号里面的部分化成完全平方式,然后去根号达到化简的目的. (3)对于化简含高次的三角函数式,往往借助于因式分解或构造sin2α+ cos2α=1,以降低函数次数,达到化简的目的. 数学 数学 数学 探究点四 三角函数式的证明 数学 方法总结 证明三角恒等式常用的方法 (1)从一边开始,证得它等于另一边,一般是由比较复杂的一边开始化简到另一边,其依据是相等关系的传递性. (2)左右归一法.即证明左、右两边都等于同一个式子,其依据是等于同一个量的两个量相等. (3)综合法.即由一个已知成立的等式(如公式等)恒等变形得到所要证明的等式,其依据是等价转化的思想. 数学 [针对训练] 求证:2(1-sin α)(1+cos α)=(1-sin α+cos α)2. 证明:右边=2-2sin α+2cos α-2sin αcos α =2(1-sin α+cos α-sin αcos α) =2(1-sin α)(1+cos α)=左边, 所以2(1-sin α)(1+cos α)=(1-sin α+cos α)2. 数学 当堂检测 × 1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (2)sin α2+cos α2=1.(　　) × × 数学 C 数学 A 数学 答案:tan x 数学 数学 点击进入 课时训练·分层突破 数学 1.理解同角三角函数的基本关系式:sin2α+cos2α=1,tan α=(α≠kπ+, k∈Z). tan α= [例1] (1)(多选题)若sin α=,且α为锐角,则下列选项正确的是(　　) A.tan α= B.cos α= C.sin α+cos α= D.sin α-cos α=- (1)解析:因为sin α=,且α为锐角, 所以cos α===,故选项B正确; 所以tan α===,故选项A正确; 所以sin α+cos α=+=≠,故选项C错误; 所以sin α-cos α=-=≠-,故选项D错误. 故选AB. (2)解:①因为tan α=-,所以===. (2)已知tan α=-,求: ①的值; 解:②由tan α=-, 得2sin αcos α+cos2α===-. (1)若已知sin α=m,可以先应用公式cos α=±求得cos α的值,再由公式t