7.2.2 单位圆与三角函数线-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第三册同步全程学习课件PPT（人教B版2019）

7.2.2　单位圆与三角函数线 数学 学习目标 1.了解三角函数线的定义和意义. 2.会用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切. 3.会利用三角函数线比较三角函数值的大小,会解简单的三角不等式. 数学 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 数学 知识梳理·自主探究 知识探究 1.单位圆 一般地,在平面直角坐标系中,坐标满足 的点组成的集合称为单位圆.因此,如果角α的终边与单位圆的交点为P,则P的坐标为 .这就是说,角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆的交点的横坐标和纵坐标.  x2+y2=1 (cos α,sin α) 数学 2.三角函数线 (1)正弦线和余弦线 相同 正数 相反 负数 数学 (2)正切线 (3)三角函数线 正弦线、余弦线和正切线都称为三角函数线. 思考:三角函数正切线的方向能表示正切函数的正负吗? 答案:能,当正切线与y轴正向同向时,所表示正切值为正的,与y轴正向反向时,所表示正切值为负的. 数学 拓展总结 三角函数线都是有向线段,因此在用字母表示这些线段时,要注意它们的方向,分清起点和终点,书写顺序也不能颠倒. 数学 师生互动·合作探究 探究点一 三角函数线的作法 数学 方法总结 三角函数线的画法 (1)作正弦线、余弦线时,首先找到角的终边与单位圆的交点,然后过此交点作x轴的垂线,得到垂足,从而得正弦线和余弦线. 数学 数学 [备用例1] 角α(0<α<2π)的正、余弦线的长度相等,且正、余弦符号相异,那么α的值为(　　) 数学 A.正弦线 B.余弦线 C.正切线 D.不能确定 数学 探究点二 [例2] 利用三角函数线确定满足下列条件的角α的取值范围. 利用三角函数线解不等式 数学 [例2] 利用三角函数线确定满足下列条件的角α的取值范围. 数学 [例2] 利用三角函数线确定满足下列条件的角α的取值范围. 数学 数学 方法总结 利用三角函数线解三角不等式的方法 (1)正弦、余弦型不等式的解法 对于sin x≥b,cos x≥a(sin x≤b,cos x≤a),求解关键是恰当地寻求点,只需作直线y=b或x=a与单位圆相交,连接原点与交点,即得角的终边所在的位置,此时再根据方向即可确定相应的范围. (2)正切型不等式的解法 对于tan x≥c,取点(1,c),连接该点和原点,并反向延长,即得角的终边所在的位置,结合图像可确定相应的范围. 提醒:在一定范围内先找出符合条件的角,再用终边相同的角的表达式写出符合条件的所有角的集合. 数学 [备用例3] 利用三角函数线证明:|sin α|+|cos α|≥1. 数学 探究点三 利用三角函数线求函数定义域 [例3] 求下列函数的定义域. 数学 [例3] 求下列函数的定义域. 数学 方法总结 求函数的定义域,就是求使解析式有意义的自变量的取值范围,一般通过解不等式或不等式组求得,对于三角函数的定义域问题,还要考虑三角函数自身定义域的限制. 数学 数学 学海拾贝 数学 思路点拨 用三角函数线证明三角不等式(比较大小),体现了数形结合的数学思想,解决问题的关键在于将所证问题转化为相应的几何解释.在坐标系的单位圆中画出三角函数线,最后利用这些图形之间的关系解决问题,提升学生的直观想象素养. 数学 [针对训练] 1.sin 4,cos 4,tan 4的大小关系是(　　) A.sin 4<tan 4<cos 4 B.tan 4<sin 4<cos 4 C.cos 4<sin 4<tan 4 D.sin 4<cos 4<tan 4 数学 答案:b<a<c 数学 当堂检测 × 1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)三角函数线的长度等于三角函数值.(　　) (2)三角函数线的方向表示三角函数值的正负.(　　) (3)对任意角都能作出正弦线、余弦线和正切线.(　　) √ × 数学 ACD 2.(多选题)下列四个命题中正确的是(　 　) A.α一定时,单位圆中的正弦线一定 B.单位圆中,有相同正弦线的角相等 C.α和α+π有相同的正切线 D.具有相同正切线的两个角的终边在同一条直线上 解析:由三角函数线的定义知,选项A,C,D正确,故选ACD. 数学 3.下列各式正确的是(　 　) B 数学 数学 点击进入 课时训练·分层突破 数学 如图,如果过角α的终边与单位圆的交点P作x轴的垂线,垂足为M,则 可以直观地表示cos α:的方向与x轴的正方向 时,表示cos α是 ,且 cos α= ;的方向与x轴的正方向 时,表示 cos α 是 ,且cos α= .习惯上,称为角α的余弦线.类似地,图中的 可以直观地表示si