7.1.1 角的推广-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第三册同步全程学习课件PPT（人教B版2019）

第七章　三角函数 7.1　任意角的概念与弧度制 7.1.1　角的推广 数学 学习目标 1.了解任意角的概念,能区分各类角的概念. 2.掌握象限角的概念,并会用集合表示象限角. 3.理解终边相同的角的含义及其表示,并能解决有关问题. 数学 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 数学 知识梳理·自主探究 知识探究 1.角的概念 (1)角的概念:一条射线绕其 旋转到另一条射线所形成的图形称为角,这两条射线分别称为角的始边和终边. (2)角的分类:按旋转方向可将角分为如下三类: 名称 定义 图形 正角 按照 方向旋转而成的角 负角 按照 方向旋转而成的角 零角 射线 时形成的角 这样定义的角,由于是旋转生成的,所以也常称为 . 端点 逆时针 顺时针 没有旋转 转角 数学 (3)任意角:任意角包括 、 和 . 思考1:如果一个角的终边与其始边重合,这个角一定是零角吗? 答案:不一定,零角的终边与始边重合,但终边与始边重合的角不一定是零 角,如360°,-360°等. [做一做] 将35°角的终边按顺时针方向旋转60°所得的角度数为　　 　,将35°角的终边按逆时针方向旋转一周后的角度数为　　　　.  正角 负角 零角 -25° 395° 数学 2.象限角 角的顶点与坐标原点重合,角的始边落在x轴的正半轴上.这时,角的终边在第几象限,就把这个角称为 .如果终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何象限. 思考2:锐角属于第几象限角?钝角又属于第几象限角? 答案:锐角属于第一象限角,钝角属于第二象限角. 3.终边相同的角 所有与角α终边相同的角组成一个集合,这个集合记为S={β|β= }.即集合S的每一个元素的终边都与α的终边相同,当k=0时对应元素为 . [做一做] 与600°角终边相同的角可表示为　　 　　.  第几象限角 α+k·360°,k∈Z α 240°+k·360°(k∈Z) 数学 拓展总结 (1)对角的概念的认识关键是抓住“旋转得角”四个字. ①从哪儿开始转——始边. ②以什么方向转——正负角. ③转了多少——角度. ④转到哪个位置——终边. (2)对终边相同的角的理解. ①终边相同的角不一定相等,但相等的角终边一定相同. ②k∈Z,即k为整数这一条件不可缺少. ③终边相同的角的表示不唯一. 数学 师生互动·合作探究 探究点一 [例1] (多选题)下列命题不正确的是(　　) A.终边与始边重合的角是零角 B.终边和始边都相同的两个角一定相等 C.在90°≤β<180°范围内的角β不一定是钝角 D.小于90°的角是锐角 角的概念 数学 解析:终边与始边重合的角还可能是360°,720°,…,故A错;终边和始边都相同的两个角可能相差360°的整数倍,如30°与-330°,故B错;由于在90°≤β<180°范围内的角β包含90°角,所以不一定是钝角,C正确;小于90°的角可能是零角,也可能是负角,故D错误.故选ABD. 数学 方法总结 理解与角的概念有关问题的关键 正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念,弄清角的始边与终边及旋转方向与大小.另外需要掌握判断结论正确与否的技巧,判断结论正确需要证明,而判断结论不正确只需举一个反例即可. 数学 [针对训练] 写出图(1)(2)中的角α,β,γ的度数. 解:图(1)中,α=360°-30°=330°; 图(2)中,β=-360°+60°+150°=-150°,γ=360°+60°+150°=570°. 数学 [备用例1] (1)经过2个小时,钟表上的时针旋转了(　　) A.60° B.-60° C.30° D.-30° 数学 (2)如图所示,射线OA绕端点O顺时针旋转90°到OB位置,接着逆时针旋转100°到OC位置,然后再顺时针旋转240°到OD位置,求∠AOD的大小. (2)解:∠AOB=90°,∠BOC=100°,∠COD=360°-240°=120°,∠AOD= ∠BOC-∠AOB+∠COD=100°-90°+120°=130°. 数学 探究点二 [例2] (1)写出与α=-1 910°终边相同的角的集合,并把集合中满足不等式-720°≤β<360°的元素β写出来; 终边相同的角和区域角的表示 数学 (2)写出终边落在图中阴影部分(包括边界)的角的集合. 解:(2)终边落在OA位置上的角的集合为{α|α=90°+45°+k·360°, k∈Z}={α|α=135°+k·360°,k∈Z},终边落在OB位置上的角的集合为{β|β=-30°+k·360°,k∈Z