第33期 2.5矩形（答案见下期）-【数理报】2022-2023学年八年级下册初二数学同步学案（湘教版）

书 主线一、有一个角是直角的平行四边形是矩形 例 １　 如图 １，在四边形 ＡＢＣＤ中，∠Ａ＝∠Ｃ＝９０°，ＡＢ ＝ＣＤ，求证：四边形 ＡＢＣＤ是矩 形． 分析：连接ＢＤ，根据三角形 全等的判定与性质得到 ＡＤ ＝ ＣＢ，得到四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，根据矩形的判定 定理即可得到结论． 证明：连接ＢＤ，如图１． 在 Ｒｔ△ＡＢＤ和 Ｒｔ△ＣＤＢ中， ＢＤ＝ＤＢ， ＡＢ＝ＣＤ{ ，所 以 Ｒｔ△ＡＢＤ≌Ｒｔ△ＣＤＢ（ＨＬ）． 所以ＡＤ＝ＣＢ． 所以四边形ＡＢＣＤ是平行四边形． 因为∠Ａ＝９０°， 所以四边形ＡＢＣＤ是矩形． 主线二、对角线相等的平行四边形是矩形 例２　如图２，在ＡＢＣＤ中，Ｅ为ＢＣ的中点，连接 ＡＥ并延长交ＤＣ的延长线于点Ｆ，连接ＢＦ，ＡＣ，若ＡＤ＝ ＡＦ，求证：四边形ＡＢＦＣ是矩形． 分析：根据平行四边形的性 质得到ＡＢ∥ＣＤ，ＡＤ＝ＢＣ，利用 平行线的性质和“ＡＡＳ”判定 △ＡＢＥ≌ △ＦＣＥ，从而得到 ＡＢ ＝ＣＦ，由已知可得四边形ＡＢＦＣ 是平行四边形，ＢＣ＝ＡＦ，根据“对角线相等的平行四边 形是矩形”可得四边形ＡＢＦＣ是矩形． 证明：因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形， 所以ＡＢ∥ＣＤ，ＡＤ＝ＢＣ． 所以∠ＢＡＥ＝∠ＣＦＥ，∠ＡＢＥ＝∠ＦＣＥ． 因为Ｅ为ＢＣ的中点，所以ＥＢ＝ＥＣ． 在 △ＡＢＥ和 △ＦＣＥ中， ∠ＢＡＥ＝∠ＣＦＥ， ∠ＡＢＥ＝∠ＦＣＥ， ＥＢ＝ＥＣ { ， 所以 △ＡＢＥ≌△ＦＣＥ（ＡＡＳ）． 所以ＡＢ＝ＣＦ． 所以四边形ＡＢＦＣ是平行四边形． 因为ＡＤ＝ＡＦ，所以ＢＣ＝ＡＦ． 所以四边形ＡＢＦＣ是矩形． 主线三、三个角是直角的四边形是矩形 例 ３　 如图 ３，在直角三角形 ＡＢＣ中，ＡＣ＝２，ＢＣ＝４，Ｐ为斜边ＡＢ 上一动点，ＰＥ⊥ＢＣ于点Ｅ，ＰＦ⊥ＣＡ 于点Ｆ，则线段ＥＦ长的最小值为 （　　） Ａ．槡５　　　　　　　Ｂ．２ Ｃ．４５槡５ Ｄ． ３ ２ 分析：连接ＰＣ，判定四边形ＥＣＦＰ是矩形，得到ＥＦ＝ ＰＣ，根据垂线段最短，可得当ＣＰ⊥ＡＢ时，ＰＣ最小，根据 等面积法求得ＰＣ的长，即可得到线段ＥＦ长的最小值． 解：连接ＰＣ，如图４． 因为 ＰＥ⊥ ＢＣ，ＰＦ⊥ ＣＡ，所以 ∠ＰＥＣ＝∠ＰＦＣ＝９０°． 又 ∠ＡＣＢ＝９０°，所以四边形 ＥＣＦＰ是矩形． 所以ＥＦ＝ＰＣ． 所以当 ＣＰ⊥ ＡＢ时，ＰＣ的长最 小，ＥＦ的长也最小． 因为ＡＣ＝２，ＢＣ＝４，所以ＡＢ＝ ２２＋４槡 ２ ＝２槡５． 因为 １ ２ＡＣ·ＢＣ＝ １ ２ＡＢ·ＰＣ，所以ＰＣ＝ ＡＣ·ＢＣ ＡＢ ＝ ４ ５槡５． 所以线段ＥＦ长的最小值为 ４５槡５． 故选Ｃ． ! " #! !"#! " $"% !! !"!# & ! ' $% ( !"#$ !"#$%&' % ! ()*+ !"#$%&'" ()*+,-'. !"#$%&'()*+ !! , -./01$23 -./1456789:; -./1<=>?@ABC2D EFGHIJ@AKCLMNO JPQRLMSTUV WXYZ[\S &'()*"+"+, ] - ^ )*+ ,-.TU_ )*+/,-.`ab cWd e f )01 ,-.` g 231 ,-.`hi )*+ ,4.j k )*+ 56.l m cno pqr s t uvw xyz {|h }~o l€ ‚" s|ƒ „ z …|† ‡ q ˆU‰ 7-)0. …|† 7-89. Š f :;)0. ˆ‹Œ <=)0. ˆ >?@A. Ž ! ‘H’“’O ! ”,•–S $.% — ! ”…˜NO ! L™š›œS /#%(*%!+(!%0 ! žš›œS /#%(!%!+(!%% ! ‘HŸ S-.¡¢£¤n¥¦§¨© (#! \FGHJª"F$LMš ! «¬L­S /#///0 ! ¤®š¯H°±S /#%(!%!+((!% /#%(!%!+(!#+ ]8²^ ! ¯³S´µ‘H¤®š ¶·¸W¹º«»]¼^ ! «¬¯³°±S (((1% ! ½¾¿À¯Á¯Ãį ! ‘HŸW¹¡]¤^*4ÆÇÈH ! ž>?ɽÊËS ()////)///((/ ! ÌÍS 222.3456789:.;:< ! ‘HÎÏÐÑÒ89ÓÔ@ABC]ÕÖ¤×ئÙÚÛÜÝ6Þß (( Ë^àÓáâ@Óãäåæçá´µ‘H¤®š ¶èé 书 矩形是特殊的平行四边形，在有关矩形的求值问题 中，涉及到众多知识点，下面选取几例加以说明，供同学 们参考． 一、矩形和勾股定理 例１　如图１，在矩形ＡＢＣＤ 中，对角线 ＡＣ，ＢＤ相交于点 Ｏ， 点Ｅ，Ｆ分别是ＡＯ，ＡＤ的中点，连 接 ＥＦ，若 ＡＢ ＝６ｃｍ，ＢＣ ＝ ８ｃｍ，则ＥＦ的长是 （　　） Ａ．２．２ｃｍ　　　　　　　Ｂ．２．３ｃｍ