第32期 2.2平行四边形(判定) 2.3 中心对称和中心对称图形 2.4三角形的中位线（答案见下期）-【数理报】2022-2023学年八年级下册初二数学同步学案（湘教版）

书 三角形中位线定理在一个题设下，有两个结论：一 是线段之间的位置关系，另一个是线段之间的数量关 系．这个定理在证明、计算、作图中都有广泛的应用，是 三角形的重要性质之一．当三角形中有中点时，往往借 助三角形中位线来解决相关问题． 一、求角度 例１　 如图１，Ｍ，Ｎ分别是 △ＡＢＣ的边 ＡＢ，ＡＣ的中点，若 ∠Ａ＝６５°，∠ＡＮＭ＝４５°，则∠Ｂ ＝ （　　） Ａ．２０°　　　　　Ｂ．４５° Ｃ．６５° Ｄ．７０° 解：因为Ｍ，Ｎ分别是△ＡＢＣ的边ＡＢ，ＡＣ的中点， 所以ＭＮ∥ＢＣ． 所以∠Ｃ＝∠ＡＮＭ ＝４５°． 所以∠Ｂ＝１８０°－∠Ａ－∠Ｃ＝７０°． 故选Ｄ． 二、求边长 例２　如图２，在△ＡＢＣ中， Ｍ，Ｎ分别是ＡＢ和ＡＣ的中点，连 接ＭＮ，点Ｅ是ＣＮ的中点，连接 ＭＥ并延长，交ＢＣ的延长线于点 Ｄ．若 ＢＣ ＝４，则 ＣＤ的长为 ． 解：因为Ｍ，Ｎ分别是ＡＢ和ＡＣ的中点，ＢＣ＝４， 所以ＭＮ＝ １２ＢＣ＝２，ＭＮ∥ＢＣ． 所以∠ＮＭＥ＝∠Ｄ，∠ＭＮＥ＝∠ＤＣＥ． 因为点Ｅ是ＣＮ的中点，所以ＮＥ＝ＣＥ． 在△ＭＮＥ和△ＤＣＥ中， ∠ＮＭＥ＝∠Ｄ， ∠ＭＮＥ＝∠ＤＣＥ， ＮＥ＝ＣＥ { ， 所以△ＭＮＥ≌△ＤＣＥ（ＡＡＳ）． 所以ＣＤ＝ＭＮ＝２． 故填２． 三、求面积 例３　如图３，ＥＦ是△ＡＢＣ的中 位线，将△ＡＥＦ沿中线 ＡＤ方向平移 到△Ａ１Ｅ１Ｆ１的位置，使Ｅ１Ｆ１与ＢＣ边 重合，已知△ＡＥＦ的面积为７，则图中 阴影部分的面积为 （　　） Ａ．７　　　　　　Ｂ．１４ Ｃ．２１　　　 Ｄ．２８ 解：连接ＥＤ，ＦＤ，如图３． 因为Ｅ，Ｄ，Ｆ分别是ＡＣ，ＢＣ，ＡＢ的中点， 所以ＤＥ∥ＡＢ，ＤＦ∥ＡＣ． 所以四边形ＡＥＤＦ是平行四边形． 所以Ｓ△ＤＥＦ ＝Ｓ△ＡＥＦ． 同理Ｓ△ＤＥＦ ＝Ｓ△ＣＤＥ，Ｓ△ＤＥＦ ＝Ｓ△ＢＤＦ． 所以Ｓ△ＡＢＣ ＝４Ｓ△ＡＥＦ ＝２８． 由平移的性质，可知Ｓ△Ａ１Ｅ１Ｆ１ ＝Ｓ△ＡＥＦ ＝７． 所以图中阴影部分的面积为：Ｓ△ＡＢＣ －Ｓ△ＡＥＦ － Ｓ△Ａ１Ｅ１Ｆ１ ＝１４． 故选Ｂ． １．如图４，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ａ＝３０°，ＢＣ＝２，点Ｄ， Ｅ分别是直角边ＢＣ，ＡＣ的中点，则ＤＥ的长为 ． ２．如图５，在梯形ＡＢＣＤ中，ＡＢ∥ＣＤ，点Ｅ，Ｆ，Ｇ分别 是ＢＤ，ＡＣ，ＤＣ的中点，已知两底差是６，两腰和是１２，求 △ＥＦＧ的周长． 书 上期２版 ２．１多边形 ２．１．１多边形的认识 基础训练　１．Ａ；　２．Ｃ；　３．Ｂ；　４．ａ＋１； ５．六；ＡＣ，ＡＤ，ＡＥ． ６．（ｍ－ｎ）ｋ＝３５． ２．１．２多边形的内角和与外角和 基础训练　１．Ｄ；　２．１３８°；　３．４５°；　４．１５６． ５．图①，ｘ°＝３６０°－７０°－９０°－１５０°＝５０°，解得 ｘ＝５０；图②，ｘ°＋（ｘ＋３０）°＋６０°＋ｘ°＋（ｘ－１０）°＝ （５－２）×１８０°，解得ｘ＝１１５． 能力提高　６．５４０°或３６０°或１８０°． ７．设这个多边形的边数为 ｎ，多加的外角的度数 为α°．根据题意，得（ｎ－２）×１８０＝２６２０－α．解得α＝ ２９８０－１８０ｎ．因为０＜α＜１８０，所以０＜２９８０－１８０ｎ ＜１８０．解得１５５９ ＜ｎ＜１６ ５ ９．因为ｎ为正整数，所以ｎ ＝１６．所以α＝１００．所以多加的外角的度数为１００°，这 个多边形的边数是１６． ２．２平行四边形 ２．２．１平行四边形的性质 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｄ；　３．Ｂ；　４．１６． ５．因为四边形ＡＢＣＤ为平行四边形，所以ＡＤ∥ＢＣ． 所以∠ＡＣＢ＝∠２．因为∠１＝∠２，所以∠ＡＣＢ＝∠１． 因为∠３＝∠ＡＣＢ＋∠１＝７０°，即２∠１＝７０°，所以∠２ ＝∠１＝３５°． ６．因为四边形 ＡＢＣＤ是平行四边形，所以 ∠Ｂ＝ ∠Ｄ．因为ＥＦ⊥ＡＢ，ＣＧ⊥ＡＤ，所以∠ＢＦＥ＝∠ＤＧＣ＝ ９０°．在 △ＢＥＦ和 △ＤＣＧ中， ∠ＢＦＥ＝∠ＤＧＣ， ∠Ｂ＝∠Ｄ， ＢＥ＝ＤＣ { ， 所以 △ＢＥＦ≌△ＤＣＧ（ＡＡＳ）．所以ＥＦ＝ＣＧ． ７．因为四边形 ＡＢＣＤ是平行四边形，所以 Ｓ△ＡＢＣ ＝ Ｓ△ＡＣＤ．又因为 ＢＥ⊥ ＡＣ，ＣＦ⊥ ＡＤ，所以 １ ２ＡＣ·ＢＥ＝ １ ２ＡＤ·ＣＦ．又因为ＢＥ＝５ｃｍ，ＡＤ＝７ｃｍ，ＡＣ＝２１ｃｍ， 所以ＣＦ＝１５ｃｍ． ８．因为点Ｏ是ＡＣ的中点，所以ＯＡ＝ＯＣ．因为四边 形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以ＡＤ＝ＢＣ，ＡＤ∥ＢＣ．所以 ∠Ｅ＝∠Ｆ，∠ＯＡＥ＝∠ＯＣＦ．在 △ＯＡＥ和 △ＯＣＦ中， ∠Ｅ＝∠Ｆ， ∠ＯＡＥ＝∠ＯＣＦ， ＯＡ＝ＯＣ { ， 所以 △ＯＡＥ≌ △ＯＣＦ（ＡＡＳ）．所以 ＡＥ＝ＣＦ．所以ＡＥ－ＡＤ＝ＣＦ－ＢＣ，即ＤＥ＝ＢＦ． 能力提高　９．（１）因为四边形 ＡＢＣＤ是平行四边 形，所以 ＡＤ＝ＢＣ，ＡＤ∥