第31期 2.1多边形 2.2平行四边形(性质)（答案见下期）-【数理报】2022-2023学年八年级下册初二数学同步学案（湘教版）

书 ２９期２版 １．３直角三角形全等的判定 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｃ；　３．７；　４．５２． ５．图略． ６．在Ｒｔ△ＡＤＣ和Ｒｔ△ＣＢＡ中，因为ＡＣ＝ＣＡ，ＤＡ＝ ＢＣ，所以Ｒｔ△ＡＤＣ≌Ｒｔ△ＣＢＡ（ＨＬ）．所以ＣＤ＝ＡＢ．因 为ＢＥ⊥ＡＣ，ＤＦ⊥ＡＣ，所以∠ＡＥＢ＝∠ＣＦＤ＝９０°．在 Ｒｔ△ＡＢＥ和Ｒｔ△ＣＤＦ中，因为ＡＢ＝ＣＤ，ＡＥ＝ＣＦ，所以 Ｒｔ△ＡＢＥ≌Ｒｔ△ＣＤＦ（ＨＬ）． 能力提高　７．在Ｒｔ△ＡＢＭ和Ｒｔ△ＤＥＮ中，因为ＡＭ ＝ＤＮ，ＡＢ＝ＤＥ，所以Ｒｔ△ＡＢＭ≌Ｒｔ△ＤＥＮ（ＨＬ）．所以 ＢＭ ＝ＥＮ．因为ＡＭ，ＤＮ分别是 △ＡＢＣ，△ＤＥＦ的中线， 所以ＢＣ＝２ＢＭ＝２ＥＮ＝ＥＦ．在△ＡＢＣ和△ＤＥＦ中，因 为ＡＢ ＝ＤＥ，∠Ｂ ＝∠Ｅ，ＢＣ ＝ＥＦ，所以 △ＡＢＣ≌ △ＤＥＦ（ＳＡＳ）． １．４角平分线的性质 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｃ；　３．Ｃ；　４．３０°． ５．图略． ６．过点Ｐ作ＰＥ⊥ＯＭ于点Ｅ，ＰＦ⊥ＯＮ于点Ｆ，图 略．因为Ｓ△ＡＢＰ ＝Ｓ△ＣＤＰ，所以 １ ２ＡＢ·ＰＥ＝ １ ２ＣＤ·ＰＦ．因 为ＡＢ＝ＣＤ，所以ＰＥ＝ＰＦ．所以点Ｐ在∠ＭＯＮ的平分 线上． ７．因为ＰＥ∥ＡＢ，ＰＦ∥ＡＣ，所以∠ＤＰＥ＝∠ＢＡＤ， ∠ＤＰＦ＝∠ＣＡＤ．因为 ＡＤ是 △ＡＢＣ的角平分线，所以 ∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ．所以∠ＤＰＥ＝∠ＤＰＦ．所以点Ｄ到ＰＥ 和ＰＦ的距离相等． ８．过点 Ｄ作 ＤＭ⊥ ＡＢ于点 Ｍ，图略．因为 ＡＤ是 △ＡＢＣ的角平分线，ＤＥ⊥ＡＣ，所以ＤＭ＝ＤＥ＝５，Ｓ△ＡＣＤ ＝ １２ＡＣ·ＤＥ＝１５．所以Ｓ△ＡＢＤ ＝ １ ２ＡＢ·ＤＭ＝４０．所以 Ｓ△ＡＢＣ ＝Ｓ△ＡＢＤ ＋Ｓ△ＡＣＤ ＝５５．因为ＡＦ是△ＡＢＣ的中线， 所以 Ｓ△ＡＣＦ ＝ １ ２Ｓ△ＡＢＣ ＝２７．５．所以 Ｓ△ＡＤＦ ＝Ｓ△ＡＣＦ － Ｓ△ＡＣＤ ＝１２．５． ２９期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ａ Ｄ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ｂ Ｃ 二、９．２５°；　１０．ＡＤ＝ＣＦ或ＡＣ＝ＤＦ；　１１．１； １２．５ｃｍ；　１３．１２；　１４．４０°． 三、１５．图略（提示：作线段ＡＢ的垂直平分线和∠ＢＡＣ 的平分线，两者的交点即为点Ｐ所在的位置）． １６．因为ＰＭ⊥ＡＤ，ＰＮ⊥ＣＤ，ＰＭ＝ＰＮ，所以ＤＢ是 ∠ＡＤＣ的平分线，即 ∠ＡＤＢ＝∠ＣＤＢ．在 △ＡＢＤ和 △ＣＢＤ中，因为∠Ａ＝∠Ｃ，∠ＡＤＢ＝∠ＣＤＢ，ＢＤ＝ＢＤ， 所以△ＡＢＤ≌△ＣＢＤ（ＡＡＳ）．所以ＡＢ＝ＣＢ． １７．因为 ＡＤ，ＣＥ都是 △ＡＢＣ的高，所以 ∠ＡＥＣ＝ ∠ＡＤＣ＝９０°．在 Ｒｔ△ＡＥＣ和 Ｒｔ△ＣＤＡ中，因为 ＡＣ＝ ＣＡ，ＡＥ＝ＣＤ，所以 Ｒｔ△ＡＥＣ≌ Ｒｔ△ＣＤＡ（ＨＬ）．所以 ∠ＣＡＥ＝∠ＡＣＤ．所以ＡＢ＝ＣＢ． １８．过点Ｆ作ＦＧ⊥ＢＥ于点Ｇ，图略．所以∠ＦＧＢ＝ ９０°．因为ＥＦ平分∠ＢＥＣ，ＦＧ⊥ＥＢ，ＦＣ⊥ＥＣ，所以ＦＧ＝ ＦＣ．在△ＡＣＦ和△ＢＧＦ中，因为∠ＣＡＦ＝∠ＧＢＦ，∠Ｃ＝ ∠ＢＧＦ，ＦＣ＝ＦＧ，所以△ＡＣＦ≌△ＢＧＦ（ＡＡＳ）．所以ＢＧ ＝ＡＣ．在Ｒｔ△ＥＦＧ和Ｒｔ△ＥＦＣ中，因为ＥＦ＝ＥＦ，ＦＧ＝ ＦＣ，所以Ｒｔ△ＥＦＧ≌Ｒｔ△ＥＦＣ（ＨＬ）．所以ＥＧ＝ＥＣ．所以 ＢＥ－ＡＥ＝ＢＧ＋ＥＧ－（ＡＣ－ＥＣ）＝２ＥＣ． 附加题　１．（１）因为ＤＥ⊥ＡＢ，所以∠ＥＤＢ＝９０°． 在Ｒｔ△ＥＢＣ和Ｒｔ△ＥＢＤ中，因为ＥＢ＝ＥＢ，ＢＣ＝ＢＤ，所 以Ｒｔ△ＥＢＣ≌ Ｒｔ△ＥＢＤ（ＨＬ）．所以 ＣＥ＝ＤＥ．又因为 ＢＤ＝ＢＣ，所以ＢＥ垂直平分ＣＤ． （２）因为∠ＢＥＤ＝６０°，∠ＥＤＢ＝９０°，所以∠ＤＢＥ ＝３０°．由（１），得∠ＣＢＥ＝∠ＤＢＥ．所以∠ＣＢＥ＝３０°． 所以∠ＣＢＤ＝６０°．又因为ＢＤ＝ＢＣ，所以△ＣＢＤ是等边 三角形． ２．过点Ｏ分别作ＯＥ⊥ＡＢ于点Ｅ，ＯＦ⊥ＢＣ于点Ｆ， ＯＧ⊥ＣＤ于点Ｇ，ＯＨ⊥ＡＤ于点Ｈ，图略．所以∠ＡＥＯ＝ ∠ＡＨＯ＝９０°．又因为ＡＯ平分∠ＢＡＤ，所以ＯＥ＝ＯＨ．在 Ｒｔ△ＯＡＥ和Ｒｔ△ＯＡＨ中，因为ＯＡ＝ＯＡ，ＯＥ＝ＯＨ，所以 Ｒｔ△ＯＡＥ≌Ｒｔ△ＯＡＨ（ＨＬ）．所以ＡＥ＝ＡＨ．同理可得ＢＥ ＝ＢＦ，ＣＦ＝ＣＧ，ＤＧ＝ＤＨ．所以ＡＢ＋ＣＤ＝ＡＥ＋ＢＥ＋ ＣＧ＋ＤＧ＝ＡＨ＋ＢＦ＋ＣＦ＋ＤＨ＝ＡＤ＋ＢＣ． 书 !"#$%&'() *+,-. ， /0123 4 ， 56789 ， :;* " ． ! １　 <= １， >? ＡＢＣＤ)@A8４０ｃｍ， BCDEFG Ｏ，△ＢＯＣ )@AH△ＡＯＢ)@AI ８ｃｍ， * ＡＢ J ＢＣ )A ． "# ： !" △ＢＯＣ# $%&△ＡＯＢ#$%'８ｃｍ，(ＡＢ&ＢＣ%８ｃｍ． $ ： K8&'( ＡＢＣＤ L$%&'