第28期 1.2直角三角形的性质和判定(Ⅱ)（答案见下期）-【数理报】2022-2023学年八年级下册初二数学同步学案（湘教版）

书 在实际问题中，有一些题目并不具备勾股定理的模 型，要想顺利地解答题目，首先需构造直角三角形，现举 例分析如下，供同学们参考． 例１　如图１，两树高分别为１０米和４米，相距８米， 一只鸟从一树的树梢飞到另一树的树梢，问小鸟至少飞 行 米． 分析：本题考查了勾股定理的应用，根据实际问题 抽象出数学图形，作垂线构造直角三角形，利用勾股定 理即可求出结果． 解：如图２，大树的高ＡＢ＝１０米，小树的高ＣＤ＝４米． 过点Ｃ作ＣＥ⊥ＡＢ于点Ｅ，连接ＡＣ，则四边形ＥＢＤＣ 是长方形． 所以ＥＢ＝ＣＤ＝４米，ＥＣ＝ＢＤ＝８米．所以ＡＥ＝ ＡＢ－ＥＢ＝６米． 在 Ｒｔ△ＡＥＣ中， 根 据 勾 股 定 理， 得 ＡＣ ＝ ＡＥ２＋ＥＣ槡 ２ ＝１０米． 故填１０． 例２　如图３是高空秋千的示意图，小明从起始位 置点Ａ处绕着点Ｏ经过最低点Ｂ，最终荡到最高点Ｃ处． 若∠ＡＯＣ＝９０°，点Ａ与点Ｂ的 高度差ＡＤ＝１米，水平距离ＢＤ ＝４米，则点Ｃ与点Ｂ的高度差 ＣＥ为 米． 分析：如图３，过点Ａ作ＡＦ ⊥ＢＯ于点Ｆ，过点 Ｃ作 ＣＧ⊥ ＢＯ于点Ｇ．根据“ＡＡＳ”可证△ＡＯＦ≌△ＯＣＧ，再根据全 等三角形的性质可得ＯＧ＝４米．在Ｒｔ△ＡＦＯ中，根据勾 股定理可求ＡＯ和ＯＢ，最后根据线段的和差关系和等量 关系即可求出点Ｃ与点Ｂ的高度差ＣＥ． 解：如图３，过点Ａ作ＡＦ⊥ＢＯ于点Ｆ，过点Ｃ作ＣＧ ⊥ＢＯ于点Ｇ．所以∠ＡＦＯ＝∠ＯＧＣ＝９０°． 因为 ∠ＡＯＣ＝∠ＡＯＦ＋∠ＣＯＧ＝９０°，∠ＡＯＦ＋ ∠ＯＡＦ＝９０°，所以∠ＣＯＧ＝∠ＯＡＦ． 在△ＡＯＦ和△ＯＣＧ中，∠ＡＦＯ＝∠ＯＧＣ，∠ＯＡＦ＝ ∠ＣＯＧ，ＡＯ＝ＯＣ， 所以△ＡＯＦ≌△ＯＣＧ（ＡＡＳ）． 所以ＯＧ＝ＡＦ＝ＢＤ＝４米． 设ＡＯ＝ｘ米． 在Ｒｔ△ＡＦＯ中，由勾股定理，得ＡＦ２＋ＯＦ２ ＝ＡＯ２， 即４２＋（ｘ－１）２ ＝ｘ２． 解得ｘ＝８．５． 所以ＣＥ＝ＧＢ＝ＯＢ－ＯＧ＝４．５米． 故填４．５． 书 !"#$%&'() ， *+,-./012345 678 ， 9:;<=78>?@ABCDE ， FG"+ HI ． ! 、 "#$%&'() * １　 DJ １， KL6MNOPQ （ !"#$%&' ( ） 6RS １２ｃｍ， TUVWS １０ｃｍ， !PQXYZP QT[ ３ｃｍ 6\ Ｂ ]^_`a ， bc_defgh!P QiY ， jZPQkl ３ｃｍ 6\ Ａ ] ， mefn0`a opq62345r ｃｍ． + ： DJ ２， sPQltUuv ，ＥＦ STUVW6_ w ， x\ Ａ yz ＥＦ 6;{\ Ａ′， |} Ａ′Ｂ ~ ＥＦ z\ Ｃ， |} ＡＣ， \ Ａ′ x Ａ′Ｄ⊥ＢＤz\Ｄ，bcＡ′Ｂ＝ＡＣ＋ ＢＣ，Ａ′Ｂ 6W€Sefn0`aopq62345 ． ‚8ƒ„… ， RS １２ｃｍ， TUVWS １０ｃｍ，ＡＥ＝３ｃｍ． †‡ Ａ′Ｄ＝５ｃｍ，ＢＤ＝１２－３＋３＝１２（ｃｍ）． ! Ｒｔ△Ａ′ＢＤ ˆ ， ‚%&'( ， ‰ Ａ′Ｂ＝ Ａ′Ｄ２＋ＢＤ槡 ２ ＝１３ｃｍ． Š‹ １３． , 、 -./$%&'() * ２　 DJ ３， _ŒWŽ6TUWBS ２ｃｍ ‘ ４ｃｍ， RS ５ｃｍ． ’_def“ Ｐ \v”, ４ Œt Upq_•0– Ｑ \ ， mefpq62345WS ｃｍ． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 + ： DJ ４， sWŽltUuv—_ŒWO ， m ＰＱ 6WSefpq62345 ． ‚8ƒ„… ，ＰＡ＝４ ＋２＋４＋２＝１２（ｃｍ），ＡＱ＝５ｃｍ． ! Ｒｔ△ＡＰＱˆ，‚% &'( ， ‰ ＰＱ＝ ＰＡ２＋ＡＱ槡 ２ ＝１３ｃｍ． Š‹ １３． * ３　 DJ ５， WŽ6RS ８ｃｍ， TrWS ４ｃｍ 6gO ，Ｐ \˜Z Ｆ \ ２ｃｍ， _defD™šl›WŽ6 œU“ Ａ \p0 Ｐ \ ， mefpq623 ˜Zr ｃｍ． + ：①DJ６，sWŽuv，Už ŸU ŒtU†!6¡UO—WO ＡＣＧＥ． ¢S ＥＦ＝４，ＰＦ＝２，ＡＥ＝８， †‡ ＰＥ＝ＥＦ＋ＰＦ＝６． ! Ｒｔ△ＡＰＥˆ，£¤%&'(，‰ＡＰ２ ＝ＰＥ２＋ＡＥ２ ＝６２＋８２ ＝１００，  ＡＰ＝１０． ②DJ７，sWŽuv，UžkU†!6¡UO —WO ＡＢＧＨ． ¢S ＡＢ＝４，ＢＦ＝８，ＰＦ＝２， †‡ ＢＰ＝ＢＦ＋ＰＦ＝１０． ! Ｒｔ△ＡＢＰˆ，£¤%&'(，‰ＡＰ２ ＝ＡＢ２＋ＢＰ２ ＝４２＋１０２ ＝１１６． ③DJ８，sWŽuv，EUžŸU ŒtU†! 6¡UO—WO ＡＤＧＦ． ¢S ＡＢ＝４，ＢＦ＝８，ＰＦ＝２， †‡ ＡＦ＝ＡＢ＋ＢＦ＝１２． ! Ｒｔ△ＡＰＦˆ，£¤%&'(