第27期 16.1二次根式;16.2二次根式的运算(乘除)-【数理报】2022-2023学年八年级下册初二数学同步学案（沪科版）

书 二次根式是初中数学 中的重要内容，二次根式的 应用主要有：运用二次根式 的性质解决有关化简、求值 的问题．下面举例进行说 明． 一、运用二次根式的运 算求解面积问题 例１　 一长方形的长 为槡６，宽为槡３，则该长方形 的面积为 （　　） Ａ．槡３　　　　Ｂ．３ Ｃ．２槡３ Ｄ．３槡２ 分析：根据长方形的面 积公式求解即可． 解：该长方形的面积 为：槡６×槡３＝３槡２． 故选Ｄ． 例 ２　 如右图，在长方形 ＡＢＣＤ中无重叠放入面积分别为 １６ｃｍ２和１２ｃｍ２的两张正方形纸 片，则图中空白部分的面积为 （　　） Ａ．（８槡３－１２）ｃｍ ２ Ｂ．（１６－８槡３）ｃｍ ２ Ｃ．（８－４槡３）ｃｍ ２ Ｄ．（４－２槡３）ｃｍ ２ 分析：根据正方形的面积求出两个正方形的边长， 从而求出ＡＥ的长，再根据空白部分的面积等于ＡＥ·ＡＦ 列式计算即可． 解：因为两张正方形纸片的面积分别为１６ｃｍ２和 １２ｃｍ２，所以它们的边长分别为：ＣＤ＝槡１６＝４（ｃｍ）， ＢＥ＝槡１２＝２槡３（ｃｍ）． 所以ＡＥ＝（４－２槡３）ｃｍ． 所以空白部分的面积为：ＡＥ·ＡＦ＝（４－２槡３）× ２槡３＝（８槡３－１２）ｃｍ ２． 故选Ａ． 二、运用二次根式的性质判断点所在的象限 例３　已知ｙ＝２＋ １ 槡－ｘ ，那么点Ｐ（ｘ，ｙ）应在直角 坐标系的 （　　） Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限 分析：由二次根式有意义的条件和二次根式的非负 性可得ｘ，ｙ的取值范围，即可判断出点Ｐ所在的象限． 解：由ｙ＝２＋ １ 槡－ｘ ，得 －ｘ＞０，ｙ＞２． 解得ｘ＜０． 所以点Ｐ（ｘ，ｙ）在第二象限． 故选Ｂ． 三、运用二次根式的性质求解方程 例４　解方程： １－２ｘ＋ｘ槡 ２ ＋ ｘ－槡 ３＝２ｘ－４． 分析：根据二次根式的双重非负性和解方程的步骤 求解即可． 解：根据二次根式有意义的条件和二次根式的非负 性，得 ｘ－３≥０， ２ｘ－４≥０{ ． 解得ｘ≥３． 原方程整理，得ｘ－１＋ ｘ－槡 ３＝２ｘ－４． 移项、合并同类项，得 ｘ－槡 ３＝ｘ－３． 所以ｘ－３＝０或ｘ－３＝１． 解得ｘ＝３或ｘ＝４． 经检验，ｘ＝３，ｘ＝４均为原方程的解． 书 数学思想是数学的灵魂，是研究和解决数学问题的 “金钥匙”，解题时若能灵活应用，则可使同学们的思维 更敏捷、思路更清晰，二次根式化简、求值中的数学思想 主要有以下几种． 一、数形结合思想助力二次根式的化简 例１　实数ａ，ｂ在数轴上的位置如下图所示，则化 简 ｜ａ＋１｜－ （ｂ－１）槡 ２ ＋ （ａ－ｂ）槡 ２ 的结果是 ． 分析：根据数轴得到ａ，ｂ的取值范围，判断出ａ＋１， ｂ－１，ａ－ｂ的符号，再根据二次根式的性质进行化简． 解：根据数轴，得 －１＜ａ＜０，１＜ｂ＜２． 所以ａ＋１＞０，ｂ－１＞０，ａ－ｂ＜０． 所以｜ａ＋１｜－ （ｂ－１）槡 ２＋ （ａ－ｂ）槡 ２ ＝ａ＋１ －（ｂ－１）＋（ｂ－ａ）＝ａ＋１－ｂ＋１＋ｂ－ａ＝２． 故填２． 二、整体思想巧妙解决二次根式求值问题 例２　已知ｘ２－３ｘ＋１＝０，求 ｘ２＋１ ｘ２ －槡 ２的值． 分析：把已知等式两边除以ｘ，得到ｘ＋１ｘ＝３，再利 用完全平方公式的变形得到所求式 ＝ （ｘ＋１ｘ） ２－槡 ４， 然后利用整体代入的方法计算． 解：因为ｘ２－３ｘ＋１＝０， 所以ｘ－３＋１ｘ ＝０，即ｘ＋ １ ｘ ＝３． 所以 ｘ２＋１ ｘ２ －槡 ２＝ （ｘ＋ １ ｘ） ２－槡 ４＝槡５． 三、分类讨论思想在二次根式计算中的应用 例３　已知ｙ＝ ｘ２－４ｘ＋槡 ４－ｘ＋３，当ｘ分别取 １，２，３，…，２０２３时，所对应的ｙ值的总和是 ． 分析：根据二次根式的性质和绝对值的性质化简， 即可得到对应的ｙ值的总和． 解：ｙ＝ ｘ２－４ｘ＋槡 ４－ｘ＋３＝ （ｘ－２）槡 ２－ｘ＋ ３＝｜ｘ－２｜－ｘ＋３． 当ｘ＝１时，ｙ＝３； 当ｘ≥２时，ｙ＝ｘ－２－ｘ＋３＝１，即当ｘ分别取２， ３，…，２０２３时，ｙ的值均为１． 综上所述，当ｘ分别取１，２，３，…，２０２３时，所对应的 ｙ值的总和是：３＋２０２２×１＝２０２５． 故填２０２５． 书 最简二次根式是二次根式运算的基础，当二次根式 化成最简二次根式后，便于进行二次根式的运算．在化 简时，很多同学不仔细审题，往往一拿到题目就开方，造 成无法化简或化简错误．现介绍几种类型的二次根式的 化简方法，供同学们参考． 一、先化成因数的乘积，再开方 当被开方数是整数时，应先化成几个因数的乘积， 再开方． 例１　化简槡１２的结果是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．２槡３ Ｂ．３ Ｃ．２槡２ Ｄ．２ 分析：将被开方数１２写成平方数４与３的乘积，再 将平方数４开方即可． 解：槡１２＝ ４×槡 ３＝２槡３． 故选Ａ． 二、先