第34期 18.1勾股定理 18.2勾股定理的逆定理-【数理报】2022-2023学年八年级下册初二数学同步学案（沪科版）

书 勾股定理在实际问题中的应用十分广泛，现举例如 下，供同学们参考． 例１　如图１，某海滨浴场 岸边Ａ处救生员发现水中的 Ｂ 处有人求救，救生员没有直接从 Ａ处游向 Ｂ处，而是沿岸边自 Ａ 处跑到离Ｂ处最近的Ｃ处，然后 从Ｃ处游向Ｂ处．若救生员在岸 边行进的速度是５ｍ／ｓ，在水中行进的速度是２ｍ／ｓ，请 问：救生员的选择合理吗？ 解：救生员的选择合理．理由如下： 由题意易知∠Ｃ＝９０°． 在Ｒｔ△ＡＢＣ中，根据勾股定理，得ＡＢ２＝ＡＣ２＋ＢＣ２ ＝４００２＋３００２ ＝２５００００．所以ＡＢ＝５００ｍ． 所以沿ＡＢ方向行进的时间为：５００÷２＝２５０（ｓ）； 沿ＡＣ＋ＣＢ方向行进的时间为：４００÷５＋３００÷２＝ ２３０（ｓ）． 因为２３０ｓ＜２５０ｓ， 所以救生员的选择合理． 例２　如图２，在甲村至乙 村的公路旁有一块山地正在开 发，现有一 Ｃ处需要爆破，已知 点Ｃ与公路上的停靠站 Ａ的距 离为６００米，与公路上另一停靠 站Ｂ的距离为８００米，且ＣＡ⊥ＣＢ，为了安全起见，爆破 点Ｃ周围半径５００米范围内不得进入．请问：在进行爆破 时，公路ＡＢ段是否有危险？是否需要暂时封锁？请通过 计算进行说明． 解：公路ＡＢ段有危险，需要暂时封锁．理由如下： 如图２，过点Ｃ作ＣＤ⊥ＡＢ于点Ｄ． 根据勾股定理，得ＡＢ２ ＝ＢＣ２＋ＡＣ２ ＝８００２＋６００２ ＝１００００００． 所以ＡＢ＝１０００米． 因为Ｓ△ＡＢＣ ＝ １ ２ＡＢ·ＣＤ＝ １ ２ＢＣ·ＡＣ， 所以ＣＤ＝ＢＣ·ＡＣＡＢ ＝４８０（米）． 因为４８０米 ＜５００米， 所以公路ＡＢ段有危险，需要暂时封锁． 例３　如图３，长方体的底面边长分别为２ｃｍ和 ４ｃｍ，高为５ｃｍ．若一只蚂蚁从Ｐ点开始经过４个侧面爬 行一圈到达 Ｑ点，则蚂蚁爬行的最短路径长为 ｃｍ． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　解：如图４，将长方体沿侧面展开成一个长方形，则 ＰＱ的长即为蚂蚁爬行的最短路径．由题意可知，ＰＡ＝４ ＋２＋４＋２＝１２（ｃｍ），ＡＱ＝５ｃｍ．在Ｒｔ△ＡＰＱ中，由勾 股定理，得ＰＱ２＝ＰＡ２＋ＡＱ２，即ＰＱ２＝１２２＋５２．解得ＰＱ ＝１３．故填１３． 书 在有关直角三角形的折叠问题中，除了注意折叠 前、后图形能够相互重合外，还要注意勾股定理的运用， 恰当运用勾股定理可以帮助我们快速、准确地解决问 题． 例１　如图１，在Ｒｔ△ＡＢＣ中， ＡＢ＝９，ＢＣ ＝６，∠Ｂ ＝９０°，将 △ＡＢＣ折叠，使点Ａ与ＢＣ的中点Ｄ 重合，折痕为 ＭＮ，则线段 ＢＮ的长 为 （　　） Ａ．５３　　　　Ｂ． ５ ２　　　　Ｃ．４　　　　Ｄ．５ 解：设ＢＮ＝ｘ．由折叠的性质，得ＤＮ＝ＡＮ＝９－ｘ． 因为Ｄ是ＢＣ的中点，ＢＣ＝６，所以ＢＤ＝３．在Ｒｔ△ＮＢＤ 中，由勾股定理，得ｘ２＋３２ ＝（９－ｘ）２．解得ｘ＝４．所以 线段ＢＮ的长为４． 故选Ｃ． 例２　如图２，在Ｒｔ△ＡＢＣ中， ∠Ｂ＝９０°，ＡＢ ＝３，ＢＣ ＝４，将 △ＡＢＣ折叠，使点Ｂ恰好落在边ＡＣ 上且与点 Ｂ′重合，ＡＥ为折痕，则 ＥＢ＝ ． 解：根据折叠，得ＥＢ＝ＥＢ′，ＡＢ′＝ＡＢ＝３，∠ＡＢ′Ｅ ＝∠Ｂ＝９０°．所以∠ＣＢ′Ｅ＝１８０°－∠ＡＢ′Ｅ＝９０°．设 ＥＢ＝ＥＢ′＝ｘ，则ＥＣ＝ＢＣ－ＥＢ＝４－ｘ．因为∠Ｂ＝ ９０°，ＡＢ＝３，ＢＣ＝４，所以ＡＣ２ ＝ＡＢ２＋ＢＣ２ ＝２５．所以 ＡＣ＝５．所以Ｂ′Ｃ＝ＡＣ－ＡＢ′＝２．在Ｒｔ△Ｂ′ＥＣ中，由勾 股定理，得ｘ２＋２２ ＝（４－ｘ）２．解得ｘ＝１．５． 故填１．５． 例３　如图３，在三角形纸片ＡＢＣ 中，ＡＣ＝１０，ＡＢ＝６，∠ＡＢＣ＝９０°，在 ＢＣ上取一点Ｅ，以ＡＥ为折痕折叠，使 ＡＣ的一部分与ＡＢ重合，点Ｃ与ＡＢ延 长线上的点Ｄ重合，则ＤＥ的长为 （　　） Ａ．８ Ｂ．７ Ｃ．６ Ｄ．５ 解：在Ｒｔ△ＡＢＣ中，ＡＣ＝１０，ＡＢ＝６，∠ＡＢＣ＝９０°， 所以ＢＣ２ ＝ＡＣ２－ＡＢ２ ＝６４．所以ＢＣ＝８．由折叠的性 质，得ＡＤ＝ＡＣ＝１０，ＤＥ＝ＥＣ．所以ＢＤ＝ＡＤ－ＡＢ＝ ４．设ＤＥ＝ｘ，则ＥＣ＝ｘ．所以ＢＥ＝ＢＣ－ＥＣ＝８－ｘ．在 Ｒｔ△ＢＤＥ中，由勾股定理，得ｘ２＝４２＋（８－ｘ）２．解得ｘ＝ ５．所以ＤＥ＝５． 故选Ｄ． 书 上期检测卷 一、１．Ｄ；　２．Ｄ； ３．Ａ；　４．Ｂ； ５．Ｂ；　６．Ｂ； ７．Ｃ；　８．Ａ； ９．Ｃ；　１０．Ａ． 二、１１．ｍ≠１； １２．ｘ＝－４； １３．１２； １４．４； １５．２８ｃｍ２． 三、１６． （１）ｘ１ ＝ ３＋ 槡２３ ３ ，ｘ２＝ ３－ 槡２３ ３ ； （２）ｘ１ ＝１＋槡３，ｘ２ ＝１－槡３； （３）ｘ１ ＝ ２，ｘ２ ＝ －５． １７．设票价应该定 为ｘ元． 根 据 题 意， 得 ｘ［１２００－２（ｘ－１００）］ ＝２４５０