第32期 三角函数模型应用举例-【数理报】新教材2022-2023学年高中数学必修第二册同步学案（北师大版）

书书书 １８． （１２ 分 ） 已 知 函 数 ｙ ＝ ( ３ｓｉｎ ２ｘ － π)３ ． （１ ） 用 五 点 法 在 图 ４ [ 坐 标 系 中 作 出 上 述 函 数 在 π６ ， ７π]６ 上 的 图 象 ( ． 请 先 列 表 ， 再 描 点 ， 图 中 每 个 小 矩 形 的 宽 度 为 π)１２ （２ ） 请 描 述 上 述 函 数 图 象 可 以 由 函 数 ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ 怎 样 变 换 而 来 ？ １９． （１２ 分 ） 已 知 函 数 ｆ（ｘ） ＝ ｓｉｎ （ω ｘ ＋ φ( ）ω ＞ ０ ，０ ＜ φ ＜ π)２ 的 图 象 Γ 与 ｙ 轴 交 点 的 纵 坐 标 为 槡 ３２ ，Γ 在 ｙ 轴 右 侧 的 第 一 个 最 高 点 的 横 坐 标 为 π１２ ． （１ ） 求 ｆ（ｘ） 的 解 析 式 ； （ ２ ） 求 ｆ（ｘ） [ 在 ０ ， π]２ 上 的 值 域 ． ２０． （１２ 分 ） 设 二 次 函 数 ｆ（ｘ） ＝ ｘ ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ（ｂ，ｃ∈ Ｒ ） ，对 任 意 α ，β ∈ Ｒ ，总 有 ｆ（ｓｉｎ α ） ≥ ０ ，ｆ（２ ＋ ｃｏｓ β ） ≤ ０． （１ ） 证 明 ：ｂ ＋ ｃ ＝ － １ ； （２ ） 证 明 ：ｃ≥ ３ ； （３ ） 若 函 数 ｆ（ｓｉｎ α ） 的 最 大 值 为 ８ ，求 ｂ，ｃ 的 值 ． ２１． （１２ 分 ） 如 图 ５ ， 中 国 第 一 高 摩 天 轮 “ 南 昌 之 星 摩 天 轮 ” 高 度 为 １６０ ｍ ， 其 中 心 Ｏ 距 地 面 Ｏ Ｂ ＝ １６７２ ｍ ，半 径 为 Ｏ Ｃ ＝ １５３２ ｍ ， 若 某 人 从 最 低 点 Ｄ 处 登 上 摩 天 轮 ，摩 天 轮 匀 速 旋 转 ，那 么 此 人 与 地 面 的 距 离 将 随 时 间 ｔ变 化 ，ｔ ＝ １５ ｍ ｉ ｎ 后 达 到 最 高 点 ，从 登 上 摩 天 轮 时 开 始 计 时 ． （１ ） 求 出 人 与 地 面 距 离 ｙ 与 时 间 ｔ 的 函 数 解 析 式 ； （ ２ ） 从 登 上 摩 天 轮 到 旋 转 一 周 过 程 中 ，有 多 长 时 间 人 与 地 面 距 离 大 于 １８１４ ｍ ． ２２． （１２ 分 ） 函 数 ｆ（ｘ） ＝ Ａｓｉｎ （ω ｘ ＋ φ( ） 其 中 Ａ ＞ ０ ，ω ＞ ０ ， ｜ φ ｜ ＜ π)２ 的 部 分 图 象 如 图 ６ 所 示 ，把 函 数 ｆ（ｘ） 的 图 象 向 右 平 移 π４ 个 单 位 长 度 ， 再 向 下 平 移 １ 个 单 位 长 度 ，得 到 函 数 ｇ （ｘ） 的 图 象 ． （１ ） 当 ｘ [ ∈ π４ ， １７π] ２４ 时 ，求 ｇ （ｘ） 的 值 域 ； （２ ） 令 Ｆ （ｘ） ＝ ｆ（ｘ） － ３ ，若 对 任 意 ｘ 都 有 ［Ｆ （ｘ） ］ ２ － （２ ＋ ｍ ）Ｆ （ｘ） ＋ ２ ＋ ｍ ≤ ０ 恒 成 立 ，求 ｍ 的 最 大 值 ． ! " # $ % & ' ( ) *+,-./0123456789!"#$%&'( *+,-./0123456789)"*$%&+( ! " ! # $ ! " # ! ! $ ! % % & ' ( ) ! ! & ! ( $ ' ( ' $ ' " "$) ! * 书 研究三角函数性质往往借助三角函数的图象来解 决，反过来，我们在研究三角函数的图象问题时也可借 助三角函数的性质来解决，因此解决三角函数的图象和 性质问题的方法灵活多样．下面就一道三角函数的图象 和性质试题进行多解研究． 题目：已知横坐标为ｘ０的点Ｐ为函数ｙ＝ (２ｓｉｎ ２ｘ＋ ５π)２ 的最值点，则ｘ０可以是 （　　） （Ａ）－π４　　（Ｂ）－ π ２　　（Ｃ） π ８　　（Ｄ） ５π ４ 思路一：首先利用诱导公式化简函数的解析式，然 后作出图象，再由图象直观确定． 解：因为ｙ＝ (２ｓｉｎ ２ｘ＋５π)２ ＝２ｃｏｓ２ｘ，其最小正周 期Ｔ＝π，由此作出图象，如下图所示， ( 由图易知点 －π２，－ )２ 是函数图象的一个最小值点，所以 ｘ０ ＝ －π２，故选（Ｂ）． 思路二：考虑利用正弦函数 ｙ＝２ｓｉｎｘ图象的最值 点满足的通式，然后做整体代换求出 ｙ＝ (２ｓｉｎ ２ｘ＋ ５π)２ 的最值点． 解：因为ｙ＝ｓｉｎｘ图象的最值点的横坐标为ｘ＝ｋπ ＋π２，ｋ∈Ｚ， 令２ｘ＋５π２ ＝ｋπ＋ π ２，ｋ∈Ｚ， 得ｘ＝ｋπ２－π，ｋ∈Ｚ， 取ｋ＝１时，ｘ０可以为 － π ２，故选（Ｂ）． 思路三：考虑利用诱导公式化简函数的解析式，易 发现化简后解析式是余弦型的，因此再利用余弦函数图 象的最值点满足的通式，通过整体代换的方法求解，本 解法与解