第31期 正切函数-【数理报】新教材2022-2023学年高中数学必修第二册同步学案（北师大版）

书书书 １９． （１２ 分 ） 已 知 函 数 ｆ（ｘ） ＝ ( ｔａｎ ｘ ＋ π)４ ． （１ ） 求 函 数 的 定 义 域 ； （ ２ ） 写 出 函 数 的 单 调 区 间 ； （３ ） 比 较 ｆ（ － １ ） ，ｆ（０ ） ，ｆ（１ ） 的 大 小 ． ２０． （１２ 分 ） 已 知 函 数 ｆ（ｘ） ＝ ｘ ２ ＋ ２ｘｔａｎ θ － １ ，ｘ∈ ［ － １ ，槡 ３ ］ ，其 中 θ ( ∈ － π２ ， π)２ ． （１ ） 当 θ ＝ － π６ 时 ，求 函 数 ｆ（ｘ） 的 最 大 值 与 最 小 值 ； （２ ） 求 使 ｙ ＝ ｆ（ｘ） 在 区 间 ［ － １ ，槡 ３ ］ 上 是 单 调 函 数 的 θ 的 取 值 范 围 ． ２１． （１２ 分 ） 若 函 数 ｆ（ｘ） ＝ ｔａｎ ２ｘ － ａｔａｎ ( ｘ｜ ｘ｜≤ π)４ 的 最 小 值 为 － ６ ，求 实 数 ａ 的 值 ． ２２． （１２ 分 ） 已 知 函 数 ｆ（ｘ） ＝ 槡 ３ｔａｎ π ｘω （ω ＞ ０ ）． （１ ） 当 ω ＝ ４ 时 ，求 ｆ（ｘ） 的 最 小 正 周 期 及 单 调 区 间 ； （２ ） 若 ｜ ｆ（ｘ） ｜≤ ３ 在 ｘ [ ∈ － π３ ， π]４ 上 恒 成 立 ，求 ω 的 取 值 范 围 ． ! " # $ % & ' ( ) *+,-./0123456789!"#$%&'( *+,-./0123456789!")$%&'( 书 一、利用诱导公式求值 １．给角求值 直接利用正切函数的诱导公式进行化简与求值，通 常遵循的基本要领是“奇变偶不变，符号看象限”． 例１ｔａｎ３００°＋ １ｔａｎ４０５°的值为 ． 分析：本题着重考查应用诱导公式和特殊角的三角 函数值进行计算． 解：原式 ＝ｔａｎ（３６０°－６０°）＋ １ｔａｎ（３６０°＋４５°） ＝－ｔａｎ６０°＋ １ｔａｎ４５°＝－槡３＋１． 故填 －槡３＋１． ２．给值求值 例２若 (ｔａｎ π６－ )α ＝槡３３，求 (ｔａｎ ５π６＋ )α 的值． 分析：首先对所求三角函数与已知的三角函数中的 角作比较，采用整体分析的方法，建立已知角与未知角 之间的联系． (因为 π６－ )α (＋ ５π６＋ )α ＝π，所以运 用正切函数的诱导公式可以将问题顺利解决． 解： (ｔａｎ ５π６＋ )α ＝ [ｔａｎ π (－ π６－ ) ]α ＝－ (ｔａｎ π６－ )α ＝－槡３３． 二、利用诱导公式化简三角函数式 利用诱导公式化简三角函数式的关键是熟记诱导 公式，诱导公式可概括为“奇变偶不变，符号看象限”．同 时应遵循“负化正、大化小，化到锐角再求解”的原则． 例３化简： （１） ｓｉｎ（４π－α） (ｃｏｓ ９π２＋ )α (ｓｉｎ１π２＋ )α ｃｏｓ（２π－α） － ｔａｎ（５π－α） ｓｉｎ（３π－α） (ｓｉｎ π２－ )α ； （２） ｔａｎ３１５°＋ｔａｎ５７０°ｔａｎ（－６０°）－ｔａｎ６７５°． 解 析： （１） 原 式 ＝ （－ｓｉｎα）·（－ｓｉｎα） （－ｃｏｓα）·ｃｏｓα － －ｔａｎαｓｉｎαｃｏｓα ＝－ｓｉｎ ２α ｃｏｓ２α ＋ １ ｃｏｓ２α ＝１－ｓｉｎ ２α ｃｏｓ２α ＝ｃｏｓ ２α ｃｏｓ２α ＝１． （２） ｔａｎ３１５°＋ｔａｎ５７０°ｔａｎ（－６０°）－ｔａｎ６７５° ＝ｔａｎ（３６０°－４５°）＋ｔａｎ（５４０°＋３０°）－ｔａｎ６０°－ｔａｎ（７２０°－４５°） ＝－ｔａｎ４５°＋ｔａｎ３０°－ｔａｎ６０°＋ｔａｎ４５°＝ －１＋槡３３ －槡３＋１ ＝槡３３． 三、利用诱导公式证明三角恒等式 利用诱导公式证明三角恒等式一般是从繁杂的一 边入手，化简得到另一边．在化简过程中，一定要牢记公 式特点． １．无条件三角恒等式的证明 例４求证：ｔａｎ（２π－α）ｓｉｎ（－２π－α）ｃｏｓ（６π－α）ｃｏｓ（α－π）ｓｉｎ（５π－α） ＝－ｔａｎα． 分析：观察被证等式两端，左繁右简，可以从左端入 手，利用诱导公式进行化简，逐步地推向右边． 证明：左边 ＝ｔａｎ（－α）ｓｉｎ（－α）ｃｏｓ（－α）ｃｏｓ（π－α）ｓｉｎ（π－α） ＝（－ｔａｎα）（－ｓｉｎα）ｃｏｓα （－ｃｏｓα）ｓｉｎα ＝－ｔａｎα＝右边，所以原等式得证． ２．条件恒等式的证明 例 ５ 设 (ｔａｎ α ＋ ８π)７ ＝ ａ， 求 证： (ｓｉｎ １５π７ ＋ )α ＋ (３ｃｏｓ α－１３π)７ (ｓｉｎ ２０π７ － )α － (ｃｏｓ α＋２２π)７ ＝ａ＋３ａ＋１． 证明：因为 (ｔａｎ α＋８π)７ ＝ [ｔａｎ π (＋ α＋π ) ]７ ＝ (ｔａｎ α＋π )７ ． 所 以 (ｔａｎ α ＋ π )７ ＝ ａ， 左 边