第29期 正弦函数、余弦函数的图象与性质-【数理报】新教材2022-2023学年高中数学必修第二册同步学案（北师大版）

书书书 １８． （１２ 分 ） （２０２２ 河 北 冀 州 中 学 月 考 ） 若 函 数 ｆ（ｘ） ＝ ( ２ｃｏｓ π４ － ω) ｘ （ω ＞ ０ ） 的 最 小 正 周 期 为 π２ ，求 ｆ（ｘ） 的 单 调 递 减 区 间 ． １９． （１２ 分 ） （２０２２ 山 东 曲 阜 师 大 附 中 高 一 月 考 ） 已 知 函 数 ｙ ＝ ａ － ｂ ( ｃｏｓ ２ｘ ＋ π)６ （ｂ ＞ ０ ） 的 最 大 值 为 ３２ ，最 小 值 为 － １２ ． （１ ） 求 ａ ，ｂ 的 值 ； （２ ） 求 函 数 ｇ （ｘ） ＝ － ４ａ ( ｓｉｎｂｘ － π)３ 的 最 小 值 并 写 出 对 应 ｘ 的 集 合 ． ２０． （１２ 分 ） （２０２２ 山 西 太 原 第 一 外 国 语 学 校 期 中 考 前 训 练 ） 求 函 数 ｙ ＝ ｃｏｓ ２ｘ ＋ ｓｉｎ( ｘ｜ ｘ ｜≤ π)４ 的 最 大 值 和 最 小 值 ． ２１． （１２ 分 ） （ ２０２２ 四 川 江 油 市 太 白 中 学 期 中 考 前 训 练 ） 已 知 关 于 ｘ 的 方 程 ｃｏｓ ２ｘ ＋ （２ ＋ ａ ）ｃ ｏｓｘ ＋ ２ａ ＝ ０ [ 在 － π４ ， π]３ 上 有 两 个 实 数 根 ，求 实 数 ａ 的 取 值 范 围 ． ２２． （１２ 分 ） 已 知 函 数 ｆ（ｘ） ＝ Ａｓｉｎ （ω ｘ ＋ φ( ） 其 中 Ａ ＞ ０ ，ω ＞ ０ ，０ ＜ φ ＜ π)２ 的 相 邻 对 称 轴 之 间 的 距 离 为 π２ ， ( 且 该 函 数 图 象 的 一 个 最 高 点 为 π１２ ，) ２． （１ ） 求 函 数 ｆ（ｘ） 的 解 析 式 和 单 调 递 增 区 间 ； （２ ） 若 ｘ [ ∈ ０ ， π]４ ，求 函 数 ｆ（ｘ） 的 最 大 值 和 最 小 值 ． ! " # $ % & ' ( ) *+,-./0123456789!"#$%&'( *+,-./0123456789!")$%&'( 书 一、巧用正弦函数的图象求角的取值范围 例１若ｓｉｎα≥ １２，求角α的取值范围． 解：画出正弦函数ｙ＝ｓｉｎｘ 在一个周期内的图象（如图１所 示），当 α＝ π６和 α＝ ５π ６时， ｓｉｎα＝１２．在一个周期内，当 π ６ ≤α≤５π６时，ｓｉｎα≥ １ ２．由于正弦函数是最小正周期 为２π的周期函数，所以满足ｓｉｎα≥ １２的角α的取值范 [围是 ２ｋπ＋π６，２ｋπ＋５π]６ ，ｋ∈Ｚ． 评注：利用正弦曲线求解ｓｉｎｘ≥ａ（ｓｉｎｘ≤ａ）的步 骤是：①作出正弦函数在一个周期内的图象；② 作直线 ｙ＝ａ与图象相交；③在一个周期内确定ｘ的取值范围； ④根据正弦函数的周期性确定最终的范围． 二、巧用余弦函数的图象求函数的定义域 例２求函数ｙ＝ｌｎ（６－ｘ）＋ ｌｎ（６＋ｘ）＋ｌｇｃｏｓｘ的定义域． 解：若原函数有意义， 则 ６－ｘ＞０， ６＋ｘ＞０， ｃｏｓｘ＞０ { ． 作出 ｙ＝ｃｏｓｘ， ｘ∈（－６，６）的图象如图２所示．由ｃｏｓｘ＞０，知该函数 (的定义域为 －６，－３π)２ (∪ －π２，π )２ (∪ ３π２， )６ ． 评注：求与余弦函数有关的函数的定义域时，可以 借助余弦函数的图象求解． 三、巧用正弦函数图象的对称性求不规则图形的面 积 例３如图３所示，函数 ｙ＝ ２ｓｉｎ (ｘ π２ ＜ｘ＜５π)２ 的图象与 直线ｙ＝２围成的封闭平面图形 的面积是 ． 解：图３中，Ｓ１与Ｓ２，Ｓ３与Ｓ４ 是对称图形，且Ｓ１＝Ｓ２，Ｓ３＝Ｓ４．因此函数ｙ＝２ｓｉｎ (ｘ π２ ＜ｘ＜５π)２ 的图象与直线ｙ＝２围成的封闭平面图形的 面积可以等价转化为矩形 ＡＢＣＤ的面积．因此 ｜ＡＤ｜＝ ２，｜ＡＢ｜＝２π，所以Ｓ矩形ＡＢＣＤ ＝２×２π＝４π．故填４π． 评注：求形状不规则图形的面积时，不能直接用面 积公式求解，可以利用正弦函数图象的对称性，将原图 形转化为规则图形再求面积． 四、巧用正、余弦函数的性质求值域（或最值） 例４求下列函数的值域： （１）ｙ＝３－２ｓｉｎｘ；（２） (ｙ＝ ｃｏｓｘ－１ )２ ２ －３． 解：（１）由正弦函数的有界性可知，－１≤ｓｉｎｘ≤１． 所以１≤ｙ≤５，即函数ｙ＝３－２ｓｉｎｘ的值域为［１，５］． （２）因为 －１≤ｃｏｓｘ≤１，所以当ｃｏｓｘ＝１２时，ｙｍｉｎ ＝－３；当 ｃｏｓｘ＝－１时，ｙｍａｘ ＝－ ３ ４．所以函数 ( ｙ＝ ｃｏｓｘ－１ )２ ２ －３ [的值域为 －３，－３ ]４ ． 评注：一般函数值域的求法有：观察法、配方法、判 别式法，三角函数是函数的特殊形式，其一般方法也适 用，但还要结合三角函数本身的性质． 五、巧用正弦函数的单调性比较大小 例