第28期 正弦函数和余弦函数的概念其性质-【数理报】新教材2022-2023学年高中数学必修第二册同步学案（北师大版）

书书书 １９． （１２ 分 ） 对 任 何 实 数 ｘ 和 整 数 ｎ ，已 知 ｆ（ｓｉｎ ｘ） ＝ ｓｉｎ ［ （４ｎ ＋ １ ）ｘ］ ， 求 ｆ（ｃｏｓ ｘ）． ２０． （１２ 分 ） 已 知 ｆ（ｎ ） ＝ ｓｉｎ ｎπ４ ，ｎ ∈ Ｚ ． （１ ） 求 证 ：ｆ（１ ） ＋ ｆ（２ ） ＋ … ＋ ｆ（８ ） ＝ ｆ（９ ） ＋ ｆ（１０ ） ＋ … ＋ ｆ（１６ ） ； （２ ） 求 ｆ（１ ） ＋ ｆ（２ ） ＋ … ＋ ｆ（２１９ ）． ２１． （１２ 分 ） （２０２２ 重 庆 市 第 一 中 学 阶 段 考 试 ） 问 ：是 否 存 在 － π２ ＜ α ＜ π２ ，０ ＜ β ＜ π ，使 得 ｓｉｎ （３π － α ） ＝ 槡 ( ２ｃｏｓ π２ － ) β 和 槡 ３ｃｏｓ（ － α ） ＝ － 槡 ２ｃｏｓ（π ＋ β ） 同 时 成 立 ？若 存 在 ，求 出 α ，β 的 值 ；若 不 存 在 ，请 说 明 理 由 ． ２２． （１２ 分 ） （２０２２ 山 西 太 原 二 外 阶 段 测 试 ） （１ ） 化 简 ｆ（α ） ＝ ｓｉｎ （２π － α ）ｃｏｓ（π ＋ α ） ( ｃｏｓ π２ ＋ ) α ( ｃｏｓ １１π２ － ) α ｃｏｓ（π － α ）ｓｉｎ （３π － α ）ｓｉｎ （ － π － α ） ( ｓｉｎ ９π２ ＋ ) α ． （２ ） 若 ｓｉｎ （１８０° ＋ α ） ＝ － 槡 １０ １０ ，０° ＜ α ＜ ９０°． 求 ｓｉｎ （ － α ） ＋ ｓｉｎ （ － ９０° － α ） ｃｏｓ（５４０° － α ） ＋ ｃｏｓ（ － ２７０° － α ） 的 值 ． ! " # $ % & ' ( ) *+,-./0123456789!"#$%&'( *+,-./0123456789!")$%&'( 书 三角函数中的不少题目常有弦外之音，暗藏陷阱， 一旦粗心大意，容易马失前蹄，导致解题错误．本文列举 两例，给同学们提个醒． 一、不能合理“变名”而致错 例１ｃｏｓ（１８０°＋１１２°）＝ （　　） （Ａ）－ｓｉｎ１１２°　　 　　 （Ｂ）ｓｉｎ１１２° （Ｃ）－ｃｏｓ１１２°　　 （Ｄ）ｃｏｓ１１２° 错解：显然运用诱导公式后不改变三角函数名称． 又因为１８０°＋１１２°＝２９２°是第四象限角， 所以ｃｏｓ（１８０°＋１１２°）＝ｃｏｓ１１２°． 错“悟”：错因在于未把角１１２°视为锐角，而是根据 其具体大小来确定象限． 正解：显然运用诱导公式后不改变三角函数名称． 又因为当把１１２°视为锐角时，１８０°＋１１２°是第三象 限角， 所以ｃｏｓ（１８０°＋１１２°）＝－ｃｏｓ１１２°． 例 (２ｓｉｎ ３π２＋ )α ＝ ． 错解：因为 ３π ２是 π ２的奇数倍，所以运用诱导公式后 三角函数名称应改为余弦． 又因为当把α视为锐角时，３π２＋α是第四象限角，而 在第四象限角余弦函数值为正， 所以 (ｓｉｎ ３π２＋ )α ＝ｃｏｓα． 错“悟”：错因在于误解了“符号看象限”的含义，其 真实含义为看原三角函数的符号，而非新三角函数的符 号．对于本题应看正弦函数在第四象限的符号． 正解：因为 ３π ２是 π ２的奇数倍，所以运用诱导公式后 三角函数名称应改为余弦． 又因为当把α视为锐角时，３π２＋α是第四象限角，而 第四象限角的正弦函数值为负， 所以 (ｓｉｎ ３π２＋ )α ＝－ｃｏｓα． 二、曲解公式进而使用不当致错 例３求 (ｓｉｎ ｋπ＋π )４ （ｋ∈Ｚ）的值． 错解： (ｓｉｎ ｋπ＋π )４ ＝－ｓｉｎπ４ ＝－槡２２． 错“悟”：错因在于无中生有地臆造了一个诱导公 式，诱导公式ｓｉｎ（ｋπ＋α）＝－ｓｉｎα是不存在的．之所以 臆造出这样一个诱导公式，是受ｓｉｎ（π＋α）＝－ｓｉｎα的 影响．欲正确解答本题，需分ｋ为奇数或偶数进行分类讨 论． 正解：当ｋ＝２ｎ（ｎ∈Ｚ），即ｋ为偶数时， (ｓｉｎ ｋπ＋π )４ ＝ (ｓｉｎ ２ｎπ＋π )４ ＝ｓｉｎπ４ ＝槡２２； 当ｋ＝２ｎ＋１（ｎ∈Ｚ），即ｋ为奇数时， ｓｉｎ（ｋπ＋π４）＝ [ｓｉｎ ２ｎπ (＋ π＋π ) ]４ ＝ (ｓｉｎ π＋π )４ ＝－ｓｉｎπ４ ＝－槡２２． 例４化简ｃｏｓ（６ｎ＋１）π ６[ ]＋ｘ＋ [ｃｏｓ （６ｎ－１）π６ － ]ｘ （ｎ∈Ｚ）． 错解：原式＝ｃｏｓｎπ＋π６( )＋ｘ＋ｃｏｓｎπ－π６( )－ｘ ＝ｃｏｓ π ６( )＋ｘ＋ｃｏｓ－ π６( )[ ]＋ｘ ＝２ｃｏｓ π ６( )＋ｘ． 错“悟”：没有对ｎ分奇数和偶数讨论，其原因在于 对诱导公式ｃｏｓ（２ｋπ＋α）＝ｃｏｓα没有透彻理解，２ｋπ应 理解为ｋ·２π（ｋ∈Ｚ），即π的２ｋ（ｋ∈Ｚ）倍． 正解：