第34期 平面向量基本定理及坐标表示-【数理报】新教材2022-2023学年高中数学必修第二册同步学案（北师大版）

书书书 １９． （１２ 分 ） 平 面 直 角 坐 标 系 中 ，Ｏ 为 坐 标 原 点 ， 已 知 两 点 Ａ （３ ，１ ） ， Ｂ （ － １ ，３ ） ， 若 点 Ｃ 满 足 →ＯＣ ＝ α →ＯＡ ＋ β →ＯＢ ，其 中 α ，β ∈ Ｒ ，且 α ＋ β ＝ １ ，求 点 Ｃ 的 轨 迹 方 程 ． ２０． （１２ 分 ） 已 知 Ａ ， Ｂ ，Ｃ ，Ｑ 为 平 面 内 的 四 点 ，求 证 ： （１ ） 若 Ａ ，Ｂ ，Ｃ 三 点 共 线 ，则 存 在 实 数 λ ，μ 且 λ ＋ μ ＝ １ ，使 →ＱＣ ＝ λ →ＱＡ ＋ μ →ＱＢ． （２ ） 若 存 在 实 数 λ ，μ 且 λ ＋ μ ＝ １ ，使 →ＱＣ ＝ λ →ＱＡ ＋ μ →ＱＢ ，则 Ａ ，Ｂ ，Ｃ 三 点 共 线 ． ２１． （１２ 分 ） 已 知 Ａ （ － ２ ，４ ） ，Ｂ （３ ， － １ ） ，Ｃ （ － ３ ，－ ４ ） ， 且 → ＣＭ ＝ ３ → ＣＡ ， → ＣＮ ＝ ２ →ＣＢ ，求 ： （１ ）Ｍ ，Ｎ 的 坐 标 ； （２ ） 向 量 →ＭＮ 的 坐 标 ； （３ ） 向 量 ４ → ＡＢ － ２ → ＭＮ 的 坐 标 ． ２２． （１２ 分 ） （２０２２ 江 苏 徐 州 高 一 期 末 考 前 训 练 ） 设 Ａ ，Ｂ ，Ｃ ，Ｄ 为 平 面 内 的 四 点 ，且 Ａ （１ ，３ ） ，Ｂ （２ ， － ２ ） ，Ｃ （４ ， － １ ）． （１ ） 若 → → ＡＢ ＝ ＣＤ ，求 Ｄ 点 的 坐 标 ； （ ２ ） 设 向 量 ａ →  ＝ ＡＢ ，ｂ →  ＝ ＢＣ ，若 ｋａ － ｂ 与 ａ ＋ ３ｂ 平 行 ，求 实 数 ｋ 的 值 ． ! " # $ % & ' ( ) *+,-./0123456789!"#$%&'( *+,-./0123456789!")$%&'( 书 一、平面向量的基本定理 １．特别提醒： （１）平面向量基本定理中，实数 λ１，λ２的唯一性是 相对于基底ｅ１，ｅ２而言的．平面内任意两个不共线的向 量都可以作为基底．一旦选定一组基底，则给定向量沿 着基底的分解是唯一的． （２）零向量不能作为基底． （３）两个非零向量共线时不能作为平面的一组基 底． ２．应用平面向量基本定理解题的一般步骤： （１）选定基底；（２）进行向量间的运算；（３）结合有 关向量定理、推论对（２）中结果进行分析、对比，从而得 到问题的结论． 例１已知向量ｅ１，ｅ２是平面α内所有向量的一组基 底，且ａ＝ｅ１＋ｅ２，ｂ＝３ｅ１－２ｅ２，ｃ＝２ｅ１＋３ｅ２，若ｃ＝λａ ＋μｂ（λ，μ∈Ｒ），试求λ，μ的值． 解：将ａ＝ｅ１＋ｅ２与ｂ＝３ｅ１－２ｅ２代入ｃ＝λａ＋μｂ 得 ｃ＝λ（ｅ１＋ｅ２）＋μ（３ｅ１－２ｅ２） ＝（λ＋３μ）ｅ１＋（λ－２μ）ｅ２． 因为ｃ＝２ｅ１＋３ｅ２，且向量ｅ１，ｅ２是平面α内所有向 量的一组基底，根据平面向量基本定理中的唯一性可得 方程组 λ＋３μ＝２， λ－２μ＝３{ ．解得 λ＝１３５， μ＝－１５ { ． 点评：平面向量基本定理中的唯一性是建立有关参 数的表达式的理论依据． 例２设向量ａ，ｂ不共线，ｃ＝２ａ－ｂ，ｄ＝３ａ－２ｂ，试 判断向量ｃ，ｄ能否作为基底． 分析：判断向量ｃ，ｄ能否作为基底，关键是判断向量 ｃ，ｄ是否共线． 解：假设存在λ∈Ｒ，使得ｃ＝λｄ， 则２ａ－ｂ＝λ（３ａ－２ｂ）， 即（２－３λ）ａ＋（２λ－１）ｂ＝０． 因为向量ａ，ｂ不共线， 则 ２－３λ＝０， ２λ－１＝０{ ，从而 λ＝ ２３， λ＝ １２ { ， 所以这样的λ是不存在的． 所以向量ｃ，ｄ不共线， 则向量ｃ，ｄ是可以作为基底． 例３已知向量ａ＝－ｅ１＋３ｅ２＋２ｅ３，ｂ＝４ｅ１－６ｅ２＋ ２ｅ３，ｃ＝－３ｅ１＋１２ｅ２＋１１ｅ３，且 ｅ１，ｅ２，ｅ３是不共线的向 量，则向量ａ能否表示成ａ＝λ１ｂ＋λ２ｃ的形式？若能，请 与出表达式；若不能，请说明理田． 分析：以平面内任意两个不共线的向量为一组基 底，可以表示该平面内的任意一个向量，所选的基底不 同，表示也不同．本题可用待定系数法求出． 解：假设向量ａ能表示成ａ＝λ１ｂ＋λ２ｃ的形式， 将ａ，ｂ，ｃ代入ａ＝λ１ｂ＋λ２ｃ中， 得 －ｅ１ ＋３ｅ２ ＋２ｅ３ ＝λ１（４ｅ１ －６ｅ２ ＋２ｅ３）＋ λ２（－３ｅ１＋１２ｅ２＋１１ｅ３）， 即 －ｅ１＋３ｅ２＋２ｅ３ ＝（４λ１－３λ２）ｅ１＋（－６λ１＋ １２λ２）ｅ２＋（２λ１＋１１λ２）ｅ３， 所以 ４λ１－３λ２ ＝－１， －６λ１＋１２λ２ ＝３， ２λ１＋１１λ２ ＝２ { ， 解得 λ１ ＝－ １ １０， λ