第25期 二项分布与超几何分布-【数理报】新教材2022-2023学年高中数学选择性必修第一册同步学案（北师大版）

书 超几何分布是一种非常重要的概率分布，在现实生 活中有着广泛的应用．超几何分布具有以下特征： ①所研究对象分为两大类：“产品数”与“次品数”，其 中“产品数”与“次品数”分别为Ｎ，Ｍ，属于不放回抽样 问题；②随机变量Ｘ所有可能的取值为 ｋ＝０，１，２，…， ｍ（ｍ＝ｍｉｎ｛Ｍ，ｎ｝）．下面举例说明超几何分布的应用． 一、直接应用求分布列 例１设在１５个同类型的零件中有２个次品，每次任 取一个，共取３次，并且每次取出后不再放回．若以Ｘ表 示取出次品的个数，试求Ｘ的分布列． 解析：Ｘ的可能取值为０，１，２，则 Ｐ（Ｘ＝０）＝ Ｃ３１３ Ｃ３１５ ＝２２３５，Ｐ（Ｘ＝１）＝ Ｃ１２Ｃ ２ １３ Ｃ３１５ ＝１２３５， Ｐ（Ｘ＝２）＝ Ｃ２２Ｃ １ １３ Ｃ３１５ ＝ １３５．Ｘ的分布列为 Ｘ ０ １ ２ Ｐ ２２３５ １２ ３５ １ ３５ 例２甲同学参加一次英语口语考试，已知在备选的 １０道试题中，甲能答对其中的６题．规定每次考试都从 备选题中随机抽出３题进行测试，求甲答对试题数Ｘ的 分布列． 解析：由题意知随机变量Ｘ服从参数Ｎ＝１０，Ｍ ＝ ６，ｎ＝３的超几何分布． Ｘ的可能取值为０，１，２，３，则 Ｐ（Ｘ＝０）＝ Ｃ３４ Ｃ３１０ ＝ １３０，Ｐ（Ｘ＝１）＝ Ｃ２４Ｃ １ ６ Ｃ３１０ ＝ ３１０， Ｐ（Ｘ＝２）＝ Ｃ１４Ｃ ２ ６ Ｃ３１０ ＝ １２，Ｐ（Ｘ＝３）＝ Ｃ３６ Ｃ３１０ ＝ １６， 所以甲答对试题数Ｘ的分布列为 Ｘ ０ １ ２ ３ Ｐ １３０ ３ １０ １ ２ １ ６ 二、逆向应用求参数 例３在一盒子中放有ａ张红色卡片、３张黄色卡片 和２张蓝色卡片，现从中任取３张． （１）如果ａ＝３，设Ｘ表示取出的３张卡片中红色卡 片的张数，求Ｘ的分布列； （２）如果取出的３张卡片中颜色都相同的概率为 １ ２８，求ａ的值． 解析：（１）由题意知Ｘ的可能取值为０，１，２，３，则 Ｐ（Ｘ＝０）＝ Ｃ３５ Ｃ３８ ＝ ５２８，Ｐ（Ｘ＝１）＝ Ｃ１３Ｃ ２ ５ Ｃ３８ ＝１５２８， Ｐ（Ｘ＝２）＝ Ｃ２３Ｃ １ ５ Ｃ３８ ＝１５５６，Ｐ（Ｘ＝３）＝ Ｃ３３ Ｃ３８ ＝ １５６， 所以Ｘ的分布列为 Ｘ ０ １ ２ ３ Ｐ ５２８ １５ ２８ １５ ５６ １ ５６ （２）设取出的３张卡片颜色都相同的事件为Ａ， 则有Ｐ（Ａ）＝ Ｃ３ａ＋Ｃ ３ ３ Ｃ３ａ＋５ ．依题意得 Ｃ３ａ＋Ｃ ３ ３ Ｃ３ａ＋５ ＝ １２８， 化简得９ａ３－３２ａ２＋３ａ＋３６＝０， 所以（ａ－３）（９ａ２－５ａ－１２）＝０． 因为ａ∈Ｎ＋，且ａ≥３，所以ａ＝３． 书 离散型随机变量的分布列是概率计算的延伸，又是 计算随机变量数字特征的基础．这部分问题常常涉及排 列、组合、二项式定理和概率的相关知识，综合性较强， 又与实际生活有着紧密的联系，因而是高考考查的重 点．在求离散型随机变量的分布列时，我们应找准切入 点，明确随机变量可能取哪些值，这样解题过程会更 自然． 例 为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程， 分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类， 这三类工程所含项目的个数分别占总数的 １ ２， １ ３， １ ６． 现在３名工人独立地从中任选一个项目参与建设． （１）求他们选择的项目所属类别互不相同的概率； （２）记Ｘ为３人中选择的项目属于基础设施工程或 产业建设工程的人数，求Ｘ的分布列及数学期望． 分析：此题以工程选择为载体，考查独立事件的概 率、随机变量分布列以及期望等知识．第（２）小题中Ｘ为 ３人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的 人数，直接求解比较繁琐，则我们可以考虑先求出３名 工人中选择的项目属于民生工程的人数 Ｙ的概率分布 列，再进一步求解． 解法一：（１）记第ｉ名工人选择的项目属于基础设 施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件 Ａｉ，Ｂｉ， Ｃｉ，ｉ＝１，２，３． 则由题意可知 Ａ１，Ａ２，Ａ３相互独立，Ｂ１，Ｂ２，Ｂ３相互 独立，Ｃ１，Ｃ２，Ｃ３相互独立，Ａｉ，Ｂｊ，Ｃｋ（ｉ，ｊ，ｋ＝１，２，３，且ｉ， ｊ，ｋ互不相同）相互独立， 且Ｐ（Ａ１）＝ １ ２，Ｐ（Ｂ１）＝ １ ３，Ｐ（Ｃ１）＝ １ ６． 显然，他们选择的项目所属类别互不相同共有６种不 同的情形，且每种情形的概率都为 １ ２× １ ３× １ ６ ＝ １ ３６， 所以三人选择的项目所属类别互不相同的概率为 Ｐ＝６×１２× １ ３× １ ６ ＝ １ ６． （２）设３名工人中选择的项目属于民生工程的人数 为Ｙ，由题意可知，Ｙ～Ｂ３，１( )３ ． 而Ｘ为３人中选择的项目属于基础设施工程或产业 建设工程的人数，则Ｘ＝３－Ｙ， 计算得Ｐ（Ｘ＝０）＝Ｐ（Ｙ＝３）＝Ｃ３３ １( )３ ３ ＝１２７， Ｐ（Ｘ＝１）＝Ｐ（Ｙ＝２）＝Ｃ２３ １( )３ ２ ２( )３ ＝ ２ ９，