专题03 证明题综合（强化题型）-【题型分层练】2022-2023学年八年级数学下册单元题型精练（北师大版）

证明题综合 1．如图，中，点在边上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且，连接． （1）求的度数； （2）求证：平分； （3）若，，，且，求的面积． 【解答】（1）解：，， ， ， ； （2）证明：过点作于，于， ，，， ， 平分，，， ， ， ，， 平分； （3）解：， ，即， 解得，， ， 的面积． 2．如图，是的平分线．垂直平分于点，于点，于点． （1）求证：； （2）若，，则　　． 【解答】（1）证明：连接，， 垂直平分， ， 平分，，， ，， 在和中， ， ， ； （2）解：设，则，， ， ， ， ． 故答案为：． 3．如图，在中，垂直平分边，交于点，平分的外角，，垂足为点，，垂足为点． （1）求证：； （2）如果，求证：点在的垂直平分线上． 【解答】（1）证明：平分的外角，，， ， 垂直平分边， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：， ， ， ， ， 垂直平分边， ， ， 点在的垂直平分线上． 4．在中，是高，，是角平分线，交于点，，． （1）求的大小； （2）求证：． 【解答】（1）解：，， ， ，分别是和平分线， ，， ； （2）证明：， ， ， ， ． 5．如图，在中，，点在上运动，点在上运动，始终保持与相等，的垂直平分线交于点，交于点，连接． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，，，求线段的长． 【解答】解：（1）， 理由如下：， ， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， ； （2）连接，设，则，， ， ， ， 解得：， 则． 6．数学课上，老师画出一等腰并标注：，，然后让同学们提出有效问题并解决．请你结合同学们提出的问题给予解答． （1）甲同学提出：　75　度； （2）乙同学提出：的面积为：　　； （3）丙同学提出：点为边的中点，，，垂足为、，则有，请写出的直接依据：　　； （4）丁同学说受丙同学启发，点为边上任一点，，，，垂足为、，，则有．请你为丁同学说明理由． 【解答】解：（1），， ； 故答案为：75； （2）过点作，交于点，则：， ，， ， ； 故答案为：25； （3）连接， 法一：，点为边的中点， 平分， ，， （角平分线上的性质）； 故答案为：角平分线的性质； 法二：，点为边的中点， ， ，， ， 又， ， （全等三角形的性质）； 综上：可以用角平分线的性质，也可以用全等三角形的性质，得到； 故答案为：角平分线的性质或全等三角形的性质； （4）证明：连接， ，，， ， ，， ， 即：， ． 7．如图，在中，，，，垂足为． （1）求证：． （2）求的长度； （3）点是边上一点，且点到边和的距离相等，求点到边距离． 【解答】（1）证明：， ， ， ， ， ， ， ， （2）解：设， 在和中， ， ， ， ； （3）解：作于，于，且，连接， 在中，， 的面积的面积的面积， ， ， ， 到的距离是． 8．如图，在四边形中，所在的直线垂直平分线段，过点作交于，延长、交于点． （1）求证：平分； （2）求证：； （3）若，，，求的长． 【解答】（1）证明：所在的直线垂直平分线段， ， ， ， ， ，即平分； （2）证明：所在的直线垂直平分线段， ， ， 是的一个外角， ， ， ， ； （3）解：， ，由（2）知，， ， ， ，， ， 设， ， ，解得， ， ， ， 所在的直线垂直平分线段， ， ． 9．已知在中，，且．作，使得． （1）如图1，若与互余，则　　（用含的代数式表示）； （2）如图2，若与互补，过点作于点，求证：； （3）若与的面积相等，则与满足什么关系？请直接写出你的结论． 【解答】（1）解：， ， 与互余， ， ， 故答案为； （2）证明：作于， ，， ，，， ， 与互补， ， ， ， ，， ， ； （3） 或与互补；理由如下： 如图1，作于，于， 与的面积相等， ， ， ， ， ； 如图2，作于，交延长线于， 与的面积相等， ， ， ， ， ， ， ， 与互补． 10．如图，在中，，点为的中点，边的垂直平分线交、、于点、、，连接、． （1）求证：为等腰三角形； （2）若，求的度数； （3）若，，求线段的长． 【解答】（1）证明：，点为的中点， ， 垂直平分， ， 垂直平分， ， ， 为等腰三角形； （2）解：，， 平分， ， ， ， ， ， ； （3）解：，点为的中点， ，， 垂直平分， ， ， ， ， 解得， 故线段的长为13． 11．如图①，和是等边三角形，连接、，连接并延长交于点，． （1）求证：； （2）如图②，作的边上的高线，交的延长线于点，求证：． 【解答】证明：（1）和是等边三角形， ，，， ， 即， 在和中， ， ； （2）连接，如图②所示： ， ， ，， ， 又， ，平分， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 12．如图，已知和均是等边三角