7.5 正态分布-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第三册同步全程学习课件PPT（人教A版）

7.5　正态分布 数学 学习目标 1.了解正态分布的意义. 2.能借助正态曲线理解正态曲线的性质. 3.了解正态曲线的意义和性质. 数学 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 数学 知识梳理·自主探究 知识探究 1.正态曲线 数学 2.正态曲线的性质 (1)曲线位于x轴 ,与x轴不相交; (2)曲线是单峰的,它关于直线 对称; x=μ 上方 x=μ (4)当|x|无限增大时,曲线无限接近x轴; (5)曲线与x轴之间的区域的面积为 ; (6)当σ一定时,曲线的位置由μ确定,曲线随着μ的变化而沿着x轴平移; (7)当μ一定时,曲线的形状由σ确定,σ越小,曲线越“瘦高”,表示随机变量的分布越 ;σ越大,曲线越“矮胖”,表示随机变量的分布越 . 1 集中 分散 数学 3.正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 (1)P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7; (2)P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5; (3)P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3. 4.3σ原则 由P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3知,正态变量X在区间[μ-3σ,μ+3σ]之外取值的概率大约只有 0.002 7,通常认为这种情况几乎不可能发生.在实际应用中,通常认为服从于正态分布N(μ,σ2)的随机变量X只取[μ-3σ, μ+3σ]中的值,这在统计学中称为 . 3σ原则 数学 师生互动·合作探究 探究点一 正态分布的概念及正态曲线的性质 [例1] 如图所示是一个正态曲线,试根据该图象写出其正态密度函数的解析式,求出总体随机变量的期望和方差. 数学 数学 方法总结 利用正态曲线的性质可以求参数μ,σ (1)正态曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称,由此性质结合图象求μ. 数学 数学 解析:当σ1>σ2时,Y分布更加集中,故在相同范围内,Y的相对累积概率 大,所以P(|X-μ1|≤1)<P(|Y-μ2|≤1),故A正确,B错误; 当σ1=σ2时,正态曲线形状只与σ相关,μ只影响正态曲线的位置, 根据对称性可知,P(X<μ2)=P(Y>μ1), 所以P(X>μ2)+P(Y>μ1)=1,故C正确,D错误.故选AC. 数学 探究点二 利用正态曲线的性质及3σ原则求概率 [例2] (1)(2022·黑龙江哈尔滨高二期末)已知随机变量X～N(6,1),且P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,则P(7<X≤8)等于(　　) A.0.135 8 B.0.271 6 C.0.135 9 D.0.271 8 数学 (2)(2022·安徽亳州高二期末)已知随机变量X服从正态分布N(1,σ2),且P(X<2)=0.6,则P(0<X<1)等于(　　) A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4 解析:(2)由X～N(1,σ2),且P(X<2)=0.6, 则有P(1<X<2)=0.6-0.5=0.1. 根据正态分布的对称性可知P(0<X<1)=P(1<X<2)=0.1.故选A. 数学 方法总结 关于正态总体在某个区间内取值的概率求法 (1)了解P(μ-σ≤X≤μ+σ),P(μ-2σ≤X≤μ+2σ),P(μ-3σ≤X≤μ+ 3σ)的值. (2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1. 数学 [针对训练] (1)已知随机变量X服从正态分布N(0,σ2),且P(X<1)=0.6,则P(X>-1)等于(　　) A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2 解析:(1)由题意,正态曲线的对称轴为x=0,则X=1与X=-1关于对称轴对 称,于是P(X>-1)=P(X<1)=0.6.故选A. 数学 (2)已知随机变量X服从正态分布N(3,σ2),且 P(X<4)=0.84,则P(2<X<4)等于(　　) A.0.16 B.0.32 C.0.68 D.0.84 解析:(2)因为随机变量X服从正态分布N(3,σ2), P(X<4)=0.84, 所以P(X≥4)=1-0.84=0.16, 所以P(X≤2)=P(X≥4)=0.16. 所以P(2<X<4)=1-P(X≥4)-P(X≤2)=1-0.32=0.68.故选C. 数学 探究点三 正态分布的实际应用 [例3] 有一种精密零件,其尺寸X(单位:mm)服从正态分布N(20,4).若这批零件共有5 000个,试求: (1)这批零件中尺寸在18～22 mm间的零件所占的百分比; 解:(1)因为X～N(20,4),所以μ=20,σ=2, 所以μ-σ=18,μ+σ=22, 于是尺寸在18～22 mm间的零件所占的百分比大约是68.27%. 数学 [例3] 有一种精密零件,其尺寸X(单位:mm)服从正态分布N