第2章 6 平面向量的应用-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册同步全程学习课件PPT（北师大版）

§6　平面向量的应用 6.1　余弦定理与正弦定理 数学 学习目标 1.会用向量方法推导正弦、余弦定理,通过正弦、余弦定理的推导过程提高逻辑推理、抽象概括的核心素养. 2.掌握用正弦、余弦定理解三角形问题,培养数学运算、抽象概括的核心 素养. 3.通过用正弦、余弦定理求解与距离、高度、角度有关的实际应用问题,培养数学建模与数学运算的核心素养. 数学 第1课时　余弦定理 数学 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 数学 知识梳理·自主探究 情境导入 隧道工程的设计,经常要测算山脚的长度,工程技术人员先在地面上选一适当的位置A,量出A到山脚B,C的距离,再利用经纬仪测出A对山脚BC(即线段BC)的张角,那么如何求出山脚的长度BC呢?(如图) 显然,用以前所学知识很难解决这个问题,为此我们来学习一种新的解决办法——余弦定理. 数学 知识探究 知识点1　余弦定理 其他两边的平方和 条件 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c 文字表述 三角形任何一边的平方等于 减去这两边与它们 的两倍 公式表达 a2= , b2= , c2= . 变形 cos A= , cos B= , cos C= . 夹角余弦的积 b2+c2-2bccos A a2+c2-2accos B a2+b2-2abcos C 数学 思考1:余弦定理与勾股定理的关系是什么? 提示:余弦定理是勾股定理的推广,勾股定理是余弦定理的特例. 思考2:在△ABC中,若a2>b2+c2,则△ABC是钝角三角形吗? 提示:在△ABC中,由a2>b2+c2可得cos A<0,因此角A一定是钝角,所以△ABC是钝角三角形. 知识点2　三角形的面积公式 sin A sin B sin C 数学 方法总结 (1)余弦定理的特点. ①适用范围:余弦定理对任意的三角形都成立. ②揭示的规律:余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系,它含有四个不同的量,知道其中的三个量,就可求得第四个量. (2)解三角形. ①一般地,三角形的三个内角A,B,C和它们的对边a,b,c叫作三角形的元素. ②已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫作解三角形. (3)判断三角形的形状时经常用到以下结论. ①△ABC为直角三角形⇔a2=b2+c2或c2=a2+b2或b2=a2+c2. ②△ABC为锐角三角形⇔a2+b2>c2且b2+c2>a2且c2+a2>b2. ③△ABC为钝角三角形⇔a2+b2<c2或b2+c2<a2或c2+a2<b2. 数学 数学 师生互动·合作探究 探究点一 余弦定理的应用 数学 数学 方法总结 (1)若已知角是两边的夹角,则直接运用余弦定理求出另外一边. (2)若已知角是其中一边的对角,主要是用余弦定理列出关于另一边的一元二次方程求解. (3)若已知三角形的三边的关系或比例关系,常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质,转化为已知三边结合余弦定理的变形求角. 数学 答案:(1)A 数学 答案:(2)45° 数学 探究点二 三角形的面积 角度1　求三角形的面积 数学 方法总结 涉及与余弦定理有关的三角形面积问题的解法 (1)若所给条件为边角关系,则需要运用余弦定理求出某两边及夹角,再利用三角形面积公式进行求解. (2)若所求面积为多边形,可通过作辅助线或其他途径构造三角形,转化为求三角形的面积. 数学 数学 角度2　三角形面积的最值 数学 数学 方法总结 已知三角形的一边(如a)及其对角(如A)求三角形面积的最大值的方法:主要是先利用余弦定理得到a2=b2+c2-2bccos A,再结合基本不等式b2+c2≥ 2bc,求出bc的最值后求面积的最值. 数学 数学 学海拾贝 三角形中线长度公式 数学 数学 数学 当堂检测 A 数学 B 数学 B 数学 B 数学 备用例题 数学 数学 数学 数学 [例5] 在△ABC中,若acos A+bcos B=ccos C,试判断三角形的形状. 数学 点击进入 课时训练·分层突破 数学 任意三角形的面积等于其两边及其夹角正弦乘积的二分之一,即S=bc = ac =ab . (4)三角形的其他面积公式. ①S=a·ha=b·hb=c·hc(ha,hb,hc分别表示边a,b,c上的高). ②S=(a+b+c)·r(r为△ABC内切圆的半径). 说明:三角形的面积公式S=absin C与原来的面积公式S=ah(h为a边上的高)的关系为h=bsin C,实质上bsin C就是