第2章 5 从力的做功到向量的数量积-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册同步全程学习课件PPT（北师大版）

导巧游 高中（新教材）·数学 返回栏目导航 返回目录 85 从力的做功到向量的数量积 5.1 向量的数量积 上页 下页 导巧球 高中（新教材）·数学 返回栏目导航 返回目录 学习目标 1.通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义，提高 数学抽象的核心素养 2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系，提高学生直观想象的核心素养。 3.掌握向量数量积的运算律及其应用，提升数学抽象与数学运算的核心素养 上页 下页 厚巧球 高中（新教材）·数学 返回目录 栏日导航 知识梳理自主探究 师生互动合作探究 上页 下页 高中（新教材）·数学 返回栏目导航 返回目录 知识梳理自主探究 情境导入 平面向量数量积的物理背景及其含义 一只猴子捡到一把钝刀，连小树也砍不断.于是它向砍柴人请教，砍柴人说：“把刀放 到石头上磨一磨”.于是猴子高兴地飞奔回去，立刻把刀放在一块石头上拼命地磨， 直到它发现刀口和刀背差不多厚了，便停下来…结果当然是失败的.难道猴子没有 做功吗？不！难道猴子没有用心吗？不！但是做功≠成功. 探究1：物理学中一个物体在力的作用下产生位移，如何描述？ 提示：一个物体在力的作用下产生位移，就说这个力对物体做了功： 探究2：如果力的方向跟物体的运动方向相同，怎样求解力对物体做的功？ 提示：功就等于力的大小和位移大小的乘积 上页 下页 厚马 高中（新教材）·数学 返回栏目导航 返回目录 知识探究 知识点1向量的数量积的定义 (1)向量a与b的夹角为0（也可记作<a,b>),alb|℃os0称为a与b的数量 积（或内积），记作ab,即ab=|abcos<a,b>=|alb|cos0. (2)规定：零向量与任一向量的数量积为0. 思考1：两个向量的数量积的结果是数量，该数量在0°≤0<90°时为正 值，在0=90°时为0，在90°〈0≤180°时为负值.结合上述事实和数量积 的定义，概括出ab|与alb|之间的关系. 提示：|ab|≤|albl,当且仅当6=0°或180°时等号成立. 上页 下页 导5球 高中（新教材）·数学 返回栏目导航 返回目录 知识点2投影 (1)投影向量 已知两个非零向量a和b,作 =a,、 =b,过点A作AA'⊥OB,垂足为A',得 到向量Y= ,称向量Y为P量a相量b上的投影向量 (②)投影向的数量. |acos<a,b>称为向量a在向量b方向上的投影数量，acos<a,b>a·i川， a b a a b 思老2：两个向量的数量积ab的几何意义是什么？ 提示：两个非零向量a,b的数量积ab,等于向量a在向量b上的投影数量与b 的模的乘积.也等于向量b在向量a上的投影数量与a的模的乘积， 下页 导练°高中（新教材）·数学返回栏目导航，“返回目录 知识点3数量积的运算性质 (1)数量积的运算律。 对任意的向量a，b，c和实数λ： ①交换律：ab=ba； ②与数乘的结合律：λ(ab)=(λa)b=a·(λb)； ③关于加法的分配律：(a+b)c=ac+bc。 (2)数量积的性质。 ①若e是单位向量，则ae=ea=|a|cos<a，e>； ②若a，b是非零向量，则ab=0⇔a⊥b； ③a·a=|a|，即|a|= ④cos<a，b>=上(a|b≠0)； ⑤|ab|≤|a|B|，当且仅当a∥b时等号成立。 思考3：向量的数量积满足消去律吗? 提示：不满足。即由ab=ac，不一定能得到b=c。上页下页。 导巧球 高中（新教材）·数学 返回栏目导航 返回目录 拓展总结 重要公式： 平方差公式 (a+b)(a-b)=a2-b2 完全平方公式 (a±b)2-a2±2ab+b2 上页 下页 高中（新教材）·数学 返回栏目导航 返回目录 师生互动合作探究 探究点一 向量数量积的计算 [例1]己知正方形ABCD的边长为1，分别求： (1) 解：如图， (1)因为<4BCD>n,所以4B‘CD2-1. (2） 解：(2)因为<， >三，所以 =0 上页 下页 高中（新教材）·数学 返回栏目导航 返回目录 [例1]己知正方形ABCD的边长为1，分别求： (3) 解：(3)因为< >一，所以 X1Xc0s一=-1. 3 0o2000000000400000000000000000000 (4) AB AC 解：(4)因为<， >=,所以 =1X×一=1」 AC.an22 上页 下页导与荡”高中（新教材）·数学返回栏目导航，“返回目录 5.2向量数量积的坐标表示 5.3-利用数量积计算长度与角度 厚马游 高中（新教材）·数学 返回栏目导航 返回目录 学习目标 1.掌握平面向量数量积的坐标表示及其运算，培养数学运算的核心素养」 2.能够用向量的坐标表示及向量数量积的运算律求两个向量的夹角与长度， 提高数学运算的核心素养 上页 下页