第2章 4 平面向量基本定理及坐标表示-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册同步全程学习课件PPT（北师大版）

§4　平面向量基本定理及坐标表示 4.1　平面向量基本定理 数学 学习目标 1.了解平面向量基本定理的含义和基的含义,提升数学运算及逻辑推理的核心素养. 2.能够借助平面向量基本定理,用基表示向量,发展直观想象与数学运算的核心素养. 数学 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 数学 知识梳理·自主探究 知识探究 知识点　平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理. 如果e1和e2是同一平面内两个不共线的向量,那么对该平面内任意一个向量a,存在 的一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2. (2)基、正交基和标准正交基. 我们把不共线的向量e1和e2叫作表示这一平面向量的一组基,记为{e1,e2}.若基中的两个向量 ,则称这组基为正交基.在正交基下向量的线性表示称为正交分解.若基中的两个向量是互相垂直的 ,则称这组基为标准正交基. 唯一 互相垂直 单位向量 数学 思考1:设e1,e2是平面向量的一组基,则e1,e2中可能有零向量吗? 提示:由于零向量和任一向量共线,这不符合基中的向量特征,因此e1,e2中不能有零向量. 思考2:平面向量的基唯一吗? 提示:不唯一,平面内任何不共线的两个向量均可以作为基. 思考3:如何理解平面向量基本定理中实数对的唯一性? 数学 师生互动·合作探究 探究点一 基的理解 [例1] 如果e1,e2是平面α内一组不共线的向量,那么下列四组向量中,不能作为平面内所有向量的一组基的是(　　) A.e1与e1+e2 B.e1-2e2与e1+2e2 C.e1+e2与e1-e2 D.e1+3e2与6e2+2e1 数学 数学 方法总结 关于平面内基的理解 两个向量能否作为一组基,关键是看这两个向量是否共线.若共线,则不能作为一组基,反之,则可作为一组基. 数学 [针对训练] 已知e1,e2是不共线的非零向量,则以下向量可以作为一组基的是(　　) A.a=0,b=e1+e2 B.a=3e1+3e2,b=e1+e2 C.a=e1-2e2,b=e1+e2 D.a=e1-2e2,b=2e1-4e2 数学 探究点二 用基表示向量 角度1　利用平面图形中的基表示向量 数学 方法总结 用几何图形中的基表示向量的方法 用几何图形中的基表示向量主要是利用三角形法则或平行四边形法则,进行向量的加减法运算,因此求解时要注意适当选择向量所在的三角形或平行四边形,利用已知向量表示未知向量. 数学 数学 角度2　用已知向量表示未知向量 [例3] 设e1,e2是平面内一组基,且a=e1+2e2,b=-e1+e2,则向量e1+e2可以表示为另一组基a,b的线性组合,即e1+e2=　　　　.  数学 方法总结 用已知不共线的向量表示未知向量主要是找到已知向量与未知向量的关 系,结合平面向量基本定理用方程的思想求出未知向量. 数学 [针对训练] 向量a在基{e1,e2}下可以表示为a=2e1+3e2,若a在基{e1+e2,e1-e2}下可表示为a=λ(e1+e2)+μ(e1-e2),则λ=　　　　,μ=　　　　.  数学 探究点三 共线(平行)向量基本定理、平面向量基本定理的综合运用 数学 数学 方法总结 选用基向量,根据向量加减法和数乘的运算法则,表示其他向量,特别是从不同的侧面表示同一个向量,利用平面向量基本定理中实数λ1,λ2的唯一性得出方程组,求解其中设定的参数值. 数学 数学 数学 当堂检测 A 1.下列有关平面向量基本定理的四个命题中错误的是(　 　) A.一个平面内有且只有一对不平行的向量可作为表示该平面所有向量的基 B.一个平面内有无数多对不平行的向量可作为表示该平面内所有向量的基 C.平面的一组基可能互相垂直 D.一个平面内任一非零向量都可唯一地表示成该平面内两个互不平行向量的线性组合 解析:根据平面向量基本定理知一个平面内任何一对不平行的向量都可作为表示该平面所有向量的基,故A错误;一个平面内有无数多对不平行的向量可作为表示该平面内所有向量的基,故B正确;平面向量的一组基只要不共线,也可能互相垂直,故C正确;一个平面内任一非零向量都可唯一地表示成该平面内两个互不平行向量的线性组合,故D正确.故选A. 数学 D 数学 B 数学 4.设向量e1与e2不共线,若3xe1+(10-y)e2=(4y-7)e1+2xe2,则实数x,y的值分别为(　 　) A.0,0 B.1,1 C.3,0 D.3,4 D 数学 备用例题 数学 数学 数学 答案:3 数学 数学 数学 点击进入 课时训练·分层突破 数学 提示:设e1,e2是平面向量的一组基,假设平面内的任意一个向量p有两种表示p=x1e1+y1e2,且p=x2e1+y2e2,则两式左右两边相减可