第1章 5 正弦函数、余弦函数的图象与性质再认识-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册同步全程学习课件PPT（北师大版）

§5　正弦函数、余弦函数的图象与性质再认识 5.1　正弦函数的图象与性质再认识 数学 学习目标 1.了解利用单位圆画正弦曲线的方法,提升数学抽象的核心素养. 2.掌握“五点法”画正弦曲线的方法和步骤,能用“五点法”作出简单的正弦曲线,提升直观想象的核心素养. 3.理解、掌握正弦函数的性质,提升数学抽象、直观想象、逻辑推理的核心素养. 数学 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 数学 知识梳理·自主探究 情境导入 将塑料瓶底部扎一个小孔做成一个漏斗,再挂在架子上,就做成了一个简易单摆(如图所示).在漏斗下方放一块纸板,板的中间画一条直线作为坐标系的横轴.把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置,放手使它摆动,同时匀速拉动纸板.这样就可在纸板上得到一条曲线,它就是简谐运动的图象.物理中把简谐运动的图象叫做“正弦曲线”或“余弦曲线”.它表示了漏斗对平衡位置的位移s(纵坐标)随时间t(横坐标)变化的情况.如图就是某个简谐运动的图象. 数学 问题1:在[0,2π]上任取一个值x0,如何利用正弦函数的定义,确定正弦函数值sin x0,并画出点T(x0,sin x0)? 提示:在平面直角坐标系中画出以原点O为圆心的单位圆,☉O与x轴正半轴的交点为A(1,0).在单位圆上,将点A绕着点O旋转x0弧度至点B,根据正弦函数的定义,点B的纵坐标y0=sin x0.由此,以x0为横坐标,y0为纵坐标画点,即得到函数图象上的点T(x0,sin x0). 知识探究 数学 数学 问题3:你能画出正弦函数在[0,2π]上的图象吗? 提示:将问题2中得到的12个点用平滑的曲线连接起来便可画出正弦函数在[0,2π]上的图象. 问题4:你如何得到正弦函数在R上的图象呢? 提示:将函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象不断向左、向右平移(每次移动2π个单位长度),就可以得到正弦函数y=sin x,x∈R的图象,如图. 数学 知识点1　正弦函数的图象 先画出正弦函数y=sin x在区间[0,2π]上的图象. 数学 利用表中的数据,先在平面直角坐标系内描点,结合对函数y=sin x性质的了解,用光滑曲线顺次连接,就可以得到函数y=sin x在区间[0,2π]上的图象(如图(2)). 将函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象向左、右平移(每次平移2π个单位长度),就可以得到正弦函数y=sin x,x∈R的图象(如图(3)).正弦函数的图象称作正弦曲线. 数学 知识点2　正弦函数性质的再认识 　　 函数 性质　　 y=sin x 定义域 R 值域 . 奇偶性 函数 周期性 周期函数、最小正周期为 . 单调性 在每一个区间 (k∈Z)上都单调递增; 在每一个区间 (k∈Z)上都单调递减 最大值与 最小值 当x= (k∈Z)时取最大值1; 当x= (k∈Z)时取最小值-1 [-1,1] 奇 2π 数学 思考1:正弦函数的对称中心与对称轴方程分别是什么? 思考2:函数y=sin ωx(ω>0)的最小正周期是什么? 问题5:画图象时,起关键作用的点是哪几个? 数学 师生互动·合作探究 探究点一 正弦函数的图象 角度1　“五点法”作正弦函数的图象 [例1] 利用“五点法”作出函数y=1-sin x(0≤x≤2π)的简图. 数学 方法总结 五点作图法中的五个关键点是把一个周期均分为4份,其中第一点是正弦函数的零点或者最值点,其他的每四分之一周期为一个点. 数学 [针对训练]用“五点法”作函数y=2sin x-1在[0,2π]上的图象. 数学 角度2　正弦函数图象的应用 数学 (2)在同一平面直角坐标系中,作函数y=sin x和y=lg x的图象,根据图象判断出方程sin x=lg x的解的个数. 数学 数学 数学 探究点二 正弦函数性质的再认识 数学 数学 (2)比较下列函数值的大小. ②sin 196°与cos 156°. 解:②sin 196°=sin(180°+16°)=-sin 16°, cos 156°=cos(180°-24°)=-cos 24°=-sin 66°. 因为0°<16°<66°<90°,且y=sin x在[0°,90°]上单调递增, 所以sin 16°<sin 66°, 所以-sin 16°>-sin 66°, 即sin 196°>cos 156°. 数学 方法总结 (1)求解正弦函数在给定区间上的值域问题,主要是借助正弦函数在给定区间上的单调性求值域. (2)利用正弦函数比较函数值的大小时,主要是利用诱导公式将函数值的自变量化到正弦函数的一个单调区间上,结合正弦函数的单调性比较大小.