第1章 4 正弦函数和余弦函数的概念及其性质-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册同步全程学习课件PPT（北师大版）

§4　正弦函数和余弦函数的概念及其性质 4.1　单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义 数学 学习目标 1.掌握单位圆中的正弦函数、余弦函数的定义,提高抽象概括的核心素养. 2.掌握任意角的正弦函数、余弦函数的定义,提高数学抽象的核心素养. 数学 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 数学 知识梳理·自主探究 知识探究 知识点1　锐角的正弦函数和余弦函数 在平面直角坐标系中,把锐角α的顶点放在坐标原点,角的始边放在x轴的非负半轴上,角α的终边与单位圆交于点P(u,v)(如图),则v= , u= .  sin α cos α 数学 思考1:单位圆上任意一点P(u,v)的坐标满足u2+v2=1,从这个事实出发,你能得到什么结论? 提示:sin2α+cos2α=1. 思考2:怎样理解单位圆? 提示:在平面直角坐标系中,以坐标原点为圆心,以单位长度为半径的圆,称为单位圆. 数学 知识点2　任意角的正弦函数和余弦函数 (1)单位圆中正弦函数、余弦函数的定义. 在平面直角坐标系中,把任意角α的顶点放在坐标原点、始边放在x轴的非负半轴上,角α的终边与单位圆交于点P(u,v),则把点P的纵坐标v叫作角α的正弦值,记作 v=sin α;把点P的横坐标u叫作角α的余弦值,记作u=cos α(如图). 数学 思考3:根据三角函数的定义,角α的正弦与余弦与点的选取有关系吗? 提示:没有. 数学 师生互动·合作探究 探究点一 单位圆与三角函数的定义 数学 方法总结 若角α的终边与单位圆交于点P(x0,y0),则sin α=y0,cos α=x0. 数学 数学 探究点二 任意角的正弦函数和余弦函数 角度1　利用任意角的正弦函数和余弦函数定义求值 [例2] (2022·天津和平区高一期末)已知角α的终边过点P(-2,1),则cos α的值为(　　) 数学 [变式探究1]本例题中的条件不变,求sin α的值. 数学 数学 方法总结 数学 角度2　三角函数定义的应用 答案:-8 数学 [变式探究1]若本题条件不变,求cos θ的值. 数学 [变式探究2]若本题中的条件不变,求角θ的终边与单位圆交点的坐标. 数学 方法总结 利用正弦函数、余弦函数的定义,求一个角的正弦值、余弦值,需要确定三个量:角的终边上任意一个异于原点的点P的横坐标x、纵坐标y和点P到原点的距离r.特别注意,当点的坐标含有参数时,应分类讨论. 数学 当堂检测 A 数学 B 数学 B 数学 数学 数学 备用例题 数学 数学 点击进入 课时训练·分层突破 数学 (2)角α的正弦函数、余弦函数的定义. 设角α终边上除原点外的一点Q(x,y),则sin α=,cos α=,其中r=. [例1] (2021·天津南开区高一期末)如果角θ的终边经过点(-,),则cos θ等于(　　) A. B.- C. D.- 解析:因为角θ的终边经过点(-,),且(-)2+()2=1,因此cos θ=-.故选B. [针对训练] (2022·北京东城区高一期末)在平面直角坐标系中,已知sin α= -,cos α=,那么角α的终边与单位圆的交点坐标为(　　) A.(,-) B.(-,) C.(-,) D.(,-) 解析:因为sin α=-,cos α=,所以角α的终边与单位圆的交点坐标为(,-).故选A. A.- B. C. D.- 解析:由角α的终边过点P(-2,1),所以cos α==-.故选D. 解:由角α的终边过点P(-2,1),所以sin α==. [变式探究2]本例题中的条件不变,求的值. 解:由角α的终边过点P(-2,1),所以cos α==-,sin α== .因此==-. 涉及角α的终边上任意一点的坐标求角的正弦值、余弦值的方法:设P(x,y)是角α的终边上任意一点,P到原点的距离r=,则sin α=,cos α=. [例3] 已知角θ的顶点为坐标原点,始边为x轴的非负半轴,若P(4,y)是角θ终边上一点,且sin θ=-,则y=　　　　.  解析:因为sin θ==-, 所以y<0,且y2=64,所以y=-8. 解:由例题可知y=-8, 因此cos θ==. 解:由例题及变式探究1可知sin θ=-,cos θ=,结合角θ的终边与单位圆交点的坐标为(cos θ,sin θ)可知,所求交点坐标为(,-). 1.若角α的终边过点(,),则cos α的值为(　 　) A. B. C. D. 解析:易知点(,)在单位圆上,故cos α=.故选A. 2.(2022·云南昆明一中高二期末)在平面直角坐标系xOy中,角α以x轴的非负半轴为始边,点P(-1,)在角α的终边上,则cos α=