第1章 8 三角函数的简单应用-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册同步全程学习全书word（北师大版）

学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 §8三角函数的简单应用 学习目标 1.了解三角函数知识在实际生活中的应用，提高数学建模与数学抽象 的核心素养 2.将实际问题抽象为三角函数模型，提升数学建模与数学抽象的核心 素养 知识梳理·自主探究 情境导入 温州市区著名景点一一江心屿，江心屿上面有座寺庙 一江心寺， 在江心寺中有一副非常知名的对联.上联：云朝朝朝朝朝 朝朝朝 散：下联：潮长长长长长长长长消.该对联巧妙地运用了叠字展现 了瓯江潮水涨落的壮阔画面.下面是瓯江江心屿码头在某年某个季节 每天的时间与水深的关系表。 时间 0 3 6 8 9 12 15 18 21 24 水深 6 6.25 7.5 5 2.84 2.5 7.5 5 2.5 5 探究：(1)仔细观察表格中的数据，你能从中得到一些什么信息？ (2)以时间为横坐标，水深为纵坐标建立平面直角坐标系，将表格中的 数据对应点描在平面直角坐标系中，你能得到什么结论？ 提示：(1)水深随时间的变化呈周期变化. (2)若用平滑的曲线连接各点，则大致呈正弦曲线. 师生互动·合作探究 独家授权侵权必究· 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 ②探究点一 匀速圆周运动的数学模型 [例1] (2021·湖南长沙高一月考)摩天轮轮盘直径为124m,游客在座舱转 到距离地面最近的位置进舱，当到达最高点时距离地面145m,匀速转 动一周大约需要30min.当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时 (1)经过tmin后游客甲距离地面的高度为Hm,已知H关于t的函数 关系式满足H(t)=Asin(ot+p)+B(其中A>0,ω>0，p≤)，求摩天 轮转动一周的解析式H(t): (2)游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度第一次恰好达到 52m? 解：(1)因为该摩天轮轮盘直径为124m,且摩天轮最高点距离地面 145m, 所以摩天轮最低点距离地面145-12421(m), H(t)mx=145,H(t)min-21, -A+B=21 (B=83, 所以 A+B=145,解得 A=62 又摩天轮匀速转动一周大约需要30min, 所以H(t)的最小正周期为T=30, 所以ω要是， ·独家授权侵权必究· 品牌书店·知名教辅·正版资源 学科网书城 眼身边的互联网+数轴专家 所以H(t)=62sin(∄t+φ)+83. 又H(0)=62sinφ+83=21， 所以sinφ-1. 因为|φ|≤z， 所以φ=号， 所以H(t)=62sin(叠t于)+83=-62cost+83. 所以摩天轮转动一周的解析式为 H(t)-62cos于t+83(0≤t≤30)． (2)由(1)知，H(t)-62cost+83(0≤t≤30)， 令62cos平t+83=52， 解得cos平t一 要求摩天轮第一次距离地面的高度为52m， 所以0≤t≤15， 所以0≤丧t≤π， 所以示t=于， 所以t=5. 即游客甲坐上摩天轮后5min，距离地面的高度第一次恰好达到52m ∘方法总结……… 实际问题中的匀速圆周运动如摩天轮上的一点离开地面的高度就是 点P的纵坐标加上摩天轮中心与地面的距离，解类似问题时要注意初 独家授权侵权必究 学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 始位置的确定方法，即φ值的确定方法，它是x轴的正半轴到初始位置 所成的角。 [针对训练] (2022·广东高一期末)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因 其经济又环保，至今还在农业生产中使用.现有一个筒车按逆时针方 向匀速转动.每分钟转动5圈，如图，将该筒车抽象为圆0，筒车上的 盛水桶抽象为圆0上的点P,已知圆0的半径为4m圆心0距离水面 2m,且当圆0上点P从水中浮现时（图中点P)开始计算时间. (1)根据如图所示的平面直角坐标系，将点P到水面的距离h(单位：m, 在水面下，h为负数)表示为时间t(单位：s)的函数，并求当t=13时，点 P到水面的距离： (2)在点P从Po开始转动的一圈内，点P到水面的距离不低于4m的 时间有多长？ 解：(1)筒车按逆时针方向匀速转动.每分钟转动5圈，故筒车每秒转 动的角速度为资晋(rad/s),故h(t)=4sin(倍t晋)+2，t≥0. 当t=13时，h(13)=4sin(晋)+22，故点P到水面的距离为2m. ·独家授权侵权必究· 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com□ 您身边的互联网+教辅专家 (2)点P从Po开始转动的一圈，所用时间to12,令h(t)=4sin(需t)+ 2≥4，其中t∈[0,12]，解得2≤t≤6，则6-24，故点P到水面的距离 不