第1章 7 正切函数-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册同步全程学习全书word（北师大版）

§7　正切函数 7.1　正切函数的定义 7.2　正切函数的诱导公式 7.3　正切函数的图象与性质 学习目标 1.掌握正切函数的定义,提升数学抽象的核心素养. 2.理解并掌握正切函数的诱导公式,发展数学运算的核心素养. 3.掌握正切函数的图象、定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质,提升数学运算素养. 问题:在平面直角坐标系中,角α的终边与单位圆交于点P(a,b)(a≠0),那么比值与角α的正弦、余弦有什么关系? 提示:由单位圆与正弦函数、余弦函数的定义可得sin α=b,cos α=a,因此=. 知识点1　正切函数的定义 比值是x的函数,称为x的正切函数,记作y=tan x,其中定义域为{x∈R|x≠+kπ,k∈Z}. 思考1:正弦函数、余弦函数的定义域是R,为什么正切函数的定义域是{x∈R|x≠+kπ,k∈Z}? 提示:由于当cos x=0时,x=+kπ(k∈Z), 而tan x=,因此y=tan x中要求cos x≠0,所以{x∈R|x≠+kπ, k∈Z}. 知识点2　正切函数的诱导公式 角x 函数y=tan x 记忆口诀 kπ+x(k∈Z) tan x 函数名不变, 符号看象限 -x -tan x π-x -tan x π+x tan x +x - -x 思考2:能否仿照研究正弦函数、余弦函数的诱导公式时,使用角的终边的对称、旋转来研究正切函数的诱导公式?举例说明. 提示:能.设角α的终边与单位圆的交点为P(u,v),根据正切函数的定义tan α=.如tan(π+α),由于π+α的终边与单位圆的交点与α的终边与单位圆的交点关于坐标原点对称,故π+α的终边与单位圆的交点为P′(-u,-v),所以tan(π+α)===tan α. 知识点3　正切函数的图象与性质 　　　函数 性质　　　 y=tan x 图象 定义域 值域 R 最小正周期 π 奇偶性 奇函数 单 调 性 递增 区间 (k∈Z) 递减区间 无 对称中心 (,0)(k∈Z) 思考3:能否说正切函数在整个定义域内是增函数? 提示:不能.正切函数y=tan x在每段区间(kπ-,kπ+)(k∈Z)上是增函数,但不能说正切函数在其整个定义域内是增函数. 　正切函数的定义 [例1] (1)(2022·河南商丘高一期末)若sin θcos θ>0,<0,则角θ的终边在(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 (2)角α的终边经过点P(-b,4)且cos α=-,则tan α=　　　　.  解析:(1)根据sin θcos θ>0,可知角θ的终边可能在第一或第三象限,再根据<0,可知角θ的终边可能在第三或第四象限,故角θ的终边在第三象限.故选C. (2)由题意知cos α==-,所以b=±3.又cos α=-<0,sin α=>0, 所以点P在第二象限,所以b=3,所以tan α=-. 答案:(1)C　(2)- [变式探究] 本例(2)的条件不变,求的值. 解:由于tan α=,因此====16. (1)已知角α终边上的一点M(a,b)(a≠0),求该角的正切函数值,或者已知角α的正切值,求角α终边上一点的坐标,都应紧扣正切函数的定义求解,在解题过程中,应注意分子、分母的位置. (2)正切函数在各个象限内的符号:在第一、第三象限为正数,在第二、第四象限为负数. (3)形如(abcd≠0)的与tan α有关的求值问题,可将分子分母同时除以cos α后构造与 tan α 有关的式子求解. 　正切函数的诱导公式 [例2] 求下列各式的值. (1)tan(-); (2)tan 10°+tan 170°+sin 1 866°-sin (-606°). 解:(1)tan(-)=-tan=-tan(3π+)=-tan(π+)=-tan=-. (2)原式=tan 10°+tan(180°-10°)+sin 1 866°-sin (-606°)=tan 10°-tan 10°+sin(5×360°+66°)-sin [(-2)×360°+114°]=sin 66°-sin 66°=0. 利用诱导公式求值的一般方法: 任意角的三角函数0～2π的角的三角函数 锐角的三角函数 [针对训练1] tan(-)=　　　.  解析:tan(-)=-tan=-tan(2π+)=-tan =-tan(π+)=-tan =-. 答案:- [针对训练2] 求值:. 解:原式= ===2-. 　正切函数的图象与性质 角度1　正切函数的图象 [例3] 作出函数y=tan |x|的图象,判断函数的奇偶性及周期性. 解:因为y=tan |x|= 所以当x≥0时,函数y=tan |x|在y