第1章 6 函数y=Asin(ωx+φ)的性质与图象-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册同步全程学习全书word（北师大版）

§6　函数y=Asin(ωx+)的性质与图象 6.1　探究ω对y=sin ωx的图象的影响 6.2　探究对y=sin(x+)的图象的影响 6.3　探究A对y=Asin(ωx+)的图象的影响 学习目标 1.理解并掌握ω,,A对函数y=Asin(ωx+)的图象的影响,提高直观想象的核心素养. 2.理解并掌握函数y=Asin(ωx+)图象的平移与伸缩变换,提升数学抽象的核心素养. 3.掌握函数y=Asin(ωx+)的性质,发展逻辑推理、数学运算的核心素养. 　　在物理中,简谐运动中单摆相对平衡位置的位移y与时间x的关系、交流电的电流y与时间x的关系等都是形如y=Asin(ωx+)的函数.如图(1)所示是某次实验测得的交流电的电流y随时间x变化的图象. 将测得的图象放大如图(2)所示,可以看出它和正弦曲线很相似. 探究:能否通过函数y=sin x的图象得到函数y=Asin(ωx+)的图象呢? 提示:能. 问题1:你能根据函数y=sin x图象与性质的研究方法,研究函数y=sin x的图象与性质吗? 提示:从周期、图象(五点法)、单调性、值域和最值方面考虑,列表如下: 函数 y=sin x y=sin x 周期 2π 4π 图象 单调性 在[2kπ-,2kπ+(k∈Z)上单调递增; 在[2kπ+,2kπ+] (k∈Z)上单调递减 在[4kπ-π,4kπ+π](k∈Z)上单调递增; 在[4kπ+π,4kπ+3π](k∈Z)上单调递减 值域 [-1,1] [-1,1] 最值 当x=2kπ+(k∈Z)时取最大值1; 当x=2kπ-(k∈Z)时取最小值-1 当x=4kπ+π(k∈Z)时取最大值1; 当x=4kπ-π(k∈Z)时取最小值-1 知识点1　ω对y=sin ωx的图象的影响 (1)一般地,对于ω>0,有sin ωx=sin(ωx+2π)=sin ω(x+),根据周期函数的定义,T=是函数y=sin ωx的最小正周期. (2)函数y=sin ωx的图象是将函数y=sin x图象上所有点的横坐标缩短到原来的(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的(纵坐标不变)得到的. (3)周期的倒数=为频率. 思考1:函数y=sin ωx图象的对称中心的坐标是什么?对称轴方程是什么?如果ω<0,则函数y=sin ωx的最小正周期是什么? 提示:对称中心坐标为(,0)(k∈Z),对称轴方程x=(k∈Z),如果ω<0,则函数y=sin ωx的最小正周期为-. 问题2:(1)观察如图所示的函数图象,比较函数y=sin(x+)与函数y=sin x的图象的形状和位置,你有什么发现? (2)同样比较函数y=sin(x-)与函数y=sin x的图象,你又有什么发现呢? 提示:(1)两图象形状完全相同,只是位置不同,函数y=sin(x+),x∈R的图象可看作是把正弦曲线y=sin x上所有的点向左平移个单位长度而得到. (2)函数y=sin(x-),x∈R的图象可看作是把正弦曲线y=sin x上所有的点向右平移个单位长度而得到. 知识点2　对y=sin(x+)的图象的影响 (1)函数y=sin(x+)与函数y=sin x的周期相同.函数y=sin(x+)的图象,可以看作将函数y=sin x图象上的所有点向左(>0)或向右(<0)平移||个单位长度得到的. 思考2:函数y=sin(x+)图象的对称中心坐标是什么?对称轴方程是什么? 提示:对称中心坐标为(kπ-,0)(k∈Z),对称轴方程为x=kπ+-(k∈Z). (2)对函数y=sin(ωx+)的图象的影响. ①函数y=sin(ωx+)与函数y=sin ωx有相同的周期.函数y=sin(ωx+)的图象,可以看作将函数y=sin ωx图象上的所有点向左(>0)或向右(<0)平移||个单位长度得到的. ②在函数y=sin(ωx+)中,决定了x=0时的函数值,通常称为初相,ωx+为相位. 思考3:如何求函数y=sin(ωx+)图象的对称中心的横坐标?如何求函数y=sin(ωx+)图象的对称轴方程? 提示:令ωx+=kπ(k∈Z),解得的x=(kπ-),k∈Z即为函数y=sin(ωx+)图象的对称中心的横坐标;由ωx+=kπ+(k∈Z),解得的x=(kπ+-),k∈Z即为函数y=sin(ωx+)图象的对称轴方程. 知识点3　A对y=Asin(ωx+)的图象的影响 (1)y=Asin(ωx+)(A>0)的图象是将y=sin(ωx+)的图象上的每个点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0<A<1时)到原来的A倍(横坐标不变)得到的.A决定了函数y=Asin(ωx+)的值域以及函数的最大值和最小值,通常称A为振幅. 思考4:函数y=Asin(ωx+)的图象与函数y=Asin(ωx+)+