第1章 5 正弦函数、余弦函数的图象与性质再认识-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册同步全程学习全书word（北师大版）

§5　正弦函数、余弦函数的图象与性质再认识 5.1　正弦函数的图象与性质再认识 学习目标 1.了解利用单位圆画正弦曲线的方法,提升数学抽象的核心素养. 2.掌握“五点法”画正弦曲线的方法和步骤,能用“五点法”作出简单的正弦曲线,提升直观想象的核心素养. 3.理解、掌握正弦函数的性质,提升数学抽象、直观想象、逻辑推理的核心素养. 　　将塑料瓶底部扎一个小孔做成一个漏斗,再挂在架子上,就做成了一个简易单摆(如图所示).在漏斗下方放一块纸板,板的中间画一条直线作为坐标系的横轴.把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置,放手使它摆动,同时匀速拉动纸板.这样就可在纸板上得到一条曲线,它就是简谐运动的图象.物理中把简谐运动的图象叫做“正弦曲线”或“余弦曲线”.它表示了漏斗对平衡位置的位移s(纵坐标)随时间t(横坐标)变化的情况.如图就是某个简谐运动的图象. 问题1:在[0,2π]上任取一个值x0,如何利用正弦函数的定义,确定正弦函数值sin x0,并画出点T(x0,sin x0)? 提示:在平面直角坐标系中画出以原点O为圆心的单位圆,☉O与x轴正半轴的交点为A(1,0).在单位圆上,将点A绕着点O旋转x0弧度至点B,根据正弦函数的定义,点B的纵坐标y0=sin x0.由此,以x0为横坐标,y0为纵坐标画点,即得到函数图象上的点T(x0,sin x0). 问题2:你能画出x0的值分别为0,,,,…,2π时对应的正弦函数图象上的点吗? 提示:如图,把x轴上从0到2π这一段分成12等份,使x0的值分别为0,,,,…,2π,它们所对应的角的终边与单位圆O的交点将圆周12等分,再按上述画点T(x0,sin x0)的方法,就可画出自变量取这些值时对应的函数图象上的点. 问题3:你能画出正弦函数在[0,2π]上的图象吗? 提示:将问题2中得到的12个点用平滑的曲线连接起来便可画出正弦函数在[0,2π]上的图象. 问题4:你如何得到正弦函数在R上的图象呢? 提示:将函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象不断向左、向右平移(每次移动2π个单位长度),就可以得到正弦函数y=sin x,x∈R的图象,如图. 知识点1　正弦函数的图象 先画出正弦函数y=sin x在区间[0,2π]上的图象. 在区间[0,2π]上取一系列的x值,例如0,,,,…,2π,并借助单位圆获得对应的正弦函数值(如图(1)),列表如下: x 0 sin x 0 1 x π 2π sin x 0 - - -1 - - 0 利用表中的数据,先在平面直角坐标系内描点,结合对函数y=sin x性质的了解,用光滑曲线顺次连接,就可以得到函数y=sin x在区间[0,2π]上的图象(如图(2)). 将函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象向左、右平移(每次平移2π个单位长度),就可以得到正弦函数y=sin x,x∈R的图象(如图(3)).正弦函数的图象称作正弦曲线. 知识点2　正弦函数性质的再认识 　　函数 性质　　 y=sin x 定义域 R 值域 [-1,1] 奇偶性 奇函数 周期性 周期函数、最小正周期为2π 单调性 在每一个区间[2kπ-,2kπ+] (k∈Z)上都单调递增; 在每一个区间[2kπ+,2kπ+] (k∈Z)上都单调递减 最大值与 最小值 当x=2kπ+(k∈Z)时取最大值1; 当x=2kπ-(k∈Z)时取最小值-1 思考1:正弦函数的对称中心与对称轴方程分别是什么? 提示:正弦函数y=sin x的对称中心是(kπ,0),k∈Z;对称轴方程是x=kπ+(k∈Z). 思考2:函数y=sin ωx(ω>0)的最小正周期是什么? 提示:函数y=sin ωx(ω>0)的最小正周期是T=. 问题5:画图象时,起关键作用的点是哪几个? 提示:(0,0),(,1),(π,0),(,-1),(2π,0). 知识点3　五点(画图)法 在精确度要求不太高时,先描出五个关键点(0,0),(,1),(π,0),(,-1),(2π,0),然后用光滑曲线将它们顺次连接起来,就得到正弦函数的简图.这种作正弦曲线的方法称为“五点(画图)法”. 　正弦函数的图象 角度1　“五点法”作正弦函数的图象 [例1] 利用“五点法”作出函数y=1-sin x(0≤x≤2π)的简图. 解:取值列表: x 0 π 2π y=sin x 0 1 0 -1 0 y=1-sin x 1 0 1 2 1 描点连线,如图所示. 五点作图法中的五个关键点是把一个周期均分为4份,其中第一点是正弦函数的零点或者最值点,其他的每四分之一周期为一个点. [针对训练]用“五点法”作函数y=2