第1章 4.3—4.4-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册同步全程学习全书word（北师大版）

4.3　诱导公式与对称 4.4　诱导公式与旋转 学习目标 1.了解正弦函数、余弦函数的诱导公式的意义和作用,能运用有关诱导公式解决一些正弦函数、余弦函数的求值、化简和证明问题,提升数学运算的核心素养. 2.理解诱导公式的推导过程,提高直观想象与逻辑推理的核心素养. 　　对称美在日常生活中很常见,南京眼和辽宁的生命之环均利用完美的对称展现自己的和谐之美.而三角函数与单位圆是紧密联系的,它的基本性质是圆的几何性质的代数表示,圆有很好的对称性:以圆心为对称中心的中心对称图形;以任意直径所在直线为对称轴的轴对称图形. 探究:你能否利用单位圆的对称性,研究一下任意角α的终边分别与角π+α,-α,π-α的终边有什么样的对称关系? 提示:π+α的终边与α的终边关于原点对称;π-α的终边与α的终边关于y轴对称;-α的终边与α的终边关于x轴对称. 知识点1　诱导公式与对称 (1)角α与-α的正弦函数、余弦函数关系. sin(-α)=-sin α,正弦函数为奇函数; cos(-α)=cos α,余弦函数为偶函数. 思考1:如果角α,β的终边关于x轴对称,你能得出角α,β的正弦函数、余弦函数的一个关系吗? 提示:sin α=-sin β,cos α=cos β. (2)角α与α±π的正弦函数、余弦函数关系. sin(α±π)=-sin α,cos(α±π)=-cos α. 思考2:如果角α,β的终边关于坐标原点对称,你能得出角α,β的正弦函数、余弦函数的一个关系吗? 提示:sin α=-sin β,cos α=-cos β. (3)角α与π-α的正弦函数、余弦函数关系. sin(π-α)=sin α,cos(π-α)=-cos α. 思考3:如果角α,β的终边关于y轴对称,你能得出角α,β的正弦函数、余弦函数一个关系吗? 提示:sin α=sin β,cos α=-cos β. 问题1:如图,作P1关于直线y=x的对称点P2,以OP2为终边的角-α与角α有什么关系? 提示:它们的终边关于直线y=x对称. 问题2:若设任意角α的终边与单位圆O的交点P1的坐标为(x,y),那么角-α的终边与单位圆O的交点P2的坐标是什么? 提示:点P2的坐标为(y,x). 知识点2　角α与角α+的正弦函数、余弦函数关系 sin(α+) =cos α,cos(α+)=-sin α. 思考4:角α与角α-的正弦函数、余弦函数关系如何? 提示:sin(α-)=-cos α,cos(α-)=sin α. 　利用诱导公式与对称求值 [例1] (1)(2021·陕西西安高一月考)cos(-)等于(　　) A.- B.- C. D. (2)若角α顶点在原点,始边在x的非负半轴上,终边上一点P的坐标为(sin ,cos ),则角α为第几象限角(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析:(1)cos(-)=cos =cos(2π+π+)=cos(π+)=-cos =-. 故选A. (2)由诱导公式得, sin =sin(π+π)=-sin π=-, cos =cos(π+π)=-cos π=cos =. 因为P(-,)在第二象限,所以角α为第二象限角.故选B. 把sin β,cos β中的角β,写成-β,π±α(α∈[0,]),利用诱导公式,得出sin β,cos β与sin α,cos α的关系,达到求值的目的. [针对训练1](2021·福建莆田高一开学考试)计算cos(-330°)等于(　　) A. B. C.- D.- 解析:cos(-330°)=cos(30°-360°)=cos 30°=.故选B. [针对训练2](2021·浙江高一期末)求值:cos +cos +cos +cos +cos +cos =　　　　.  解析:cos +cos +cos +cos +cos +cos =cos +cos +cos +cos(π-)+cos(π-)+cos(π-)=cos +cos +cos -cos -cos -cos =0. 答案:0 　利用诱导公式与旋转求值 [例2] 设角α的终边过点(1,-2),则等于(　　) A. B.1 C.-1 D.-3 解析:由题sin α=-,cos α=, 原式==1. 故选B. 当α+β=±或者α-β=±时,考虑使用α±,±α的诱导公式. [针对训练1](2021·安徽滁州高一期末)点(,-1)是角θ的终边上一点,则sin(θ-)等于(　　) A. B.- C. D.- 解析:由题得cos θ=, sin(θ-)=-cos θ=-. 故选B. [针对训练2](2021·安徽寿县高一期末)已知cos(α+)=,则sin(α+)等于(　　) A.- B. C.- D. 解析:sin(α+)=sin(α++)=cos