第4章 3 二倍角的三角函数公式-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册同步全程学习课件PPT（北师大版）

§3　二倍角的三角函数公式 3.1　二倍角公式 3.2　半角公式 数学 学习目标 1.通过两角和的公式推导二倍角公式的学习以及二倍角公式的应用,提高逻辑推理与数学运算的核心素养. 2.能用二倍角公式导出半角公式,体会其中的三角恒等变换的基本思想,提高数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养. 数学 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 数学 知识梳理·自主探究 情境导入 同学们知道电脑输入法中的“半角”和“全角”的区别吗?半角、全角主要是针对标点符号来说的,全角标点占两个字节,半角占一个字节,但不管是半角还是全角,汉字都要占两个字节.事实上,汉字字符规定了全角的英文字符、图形符号和特殊字符都是全角字符,而通常的英文字母、数字键、符号键都是半角字符. 探究:任意角中是否也有“全角”与“半角”之分,二者有何数量关系? 数学 知识探究 2sin αcos α 1-2sin2α 思考1:存在角α,使得sin 2α=2sin α成立吗? 提示:存在,当α=kπ(k∈Z)时,公式sin 2α=2sin α成立. 数学 数学 提示: 数学 拓展总结 数学 ②因式分解变换: cos 2α=cos2α-sin2α=(cos α+sin α)(cos α-sin α). 数学 ③配方变换: 1±sin 2α=sin2α+cos2α±2sin αcos α=(sin α±cos α)2. 数学 师生互动·合作探究 探究点一 利用二倍角公式求值 数学 数学 数学 方法总结 利用二倍角公式条件求值的方法 利用二倍角公式给值求值问题,注意寻找已知式与未知式之间的联系,有两个观察方向: (1)有方向地将已知式或未知式化简,使关系明朗化. (2)寻找角之间的关系,看是否适合相关公式尤其是诱导公式的使用,注意常见角的变换和角之间的二倍关系. 数学 探究点二 半角公式的应用 数学 数学 方法总结 利用半角公式求半角的正弦值与余弦值时,由于涉及开方,因此首先要根据角α的范围,确定函数值的符号.而对于半角的正切式一般可利用不含根式的半角正切有理式求值. 数学 探究点三 三角恒等变换的综合应用 数学 数学 方法总结 求解含正弦、余弦的平方式或积式的函数的方法 已知三角函数关系式中含sin2α,cos2α,sin αcos α的关系式,常逆用二倍角公式结合辅助角公式化为只含一个角的一种三角函数形式后求解. 数学 数学 数学 学海拾贝 数学 数学 数学 当堂检测 A 数学 D 数学 A 数学 数学 备用例题 数学 数学 数学 点击进入 课时训练·分层突破 数学 提示:是;是α的半角,α是2α的半角. 知识点1　二倍角公式 sin 2α= .(S2α)  cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1= .(C2α) tan 2α=.(T2α) 思考2:公式tan 2α=成立的条件是什么? 提示:当α≠kπ+,2α≠kπ+(k∈Z)时,公式tan 2α=成立. 知识点2　半角公式 sin = ; cos = ; tan =±==. ± ± 思考3:已知角α的象限,则所在的象限以及三角函数值的符号分别是什么? α sin cos tan 第一象限 第一、第三象限 +,- +,- + 第二象限 第一、第三象限 +,- +,- + 第三象限 第二、第四象限 +,- -,+ - 第四象限 第二、第四象限 +,- -,+ - (1)关于二倍角公式的理解. ①二倍角的“广义理解”:二倍角是相对的,如4α是2α的二倍,α是的二倍等,“倍”是描述两个数量之间关系的,这里蕴含着换元思想. ②对于S2α和C2α,α∈R,但是在使用T2α时,要保证分母1-tan2α≠0且tan α有意义,即α≠kπ+且α≠kπ-且α≠kπ+(k∈Z).当α=kπ+及α=kπ- (k∈Z)时,tan 2α的值不存在;当α=kπ+(k∈Z)时,tan α的值不存在,故不能用二倍角公式求tan 2α,此时可以利用诱导公式直接求tan 2α. (2)关于二倍角公式的逆用及变换. ①逆用: 2sin αcos α=sin 2α; sin αcos α=sin 2α; cos α=; cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α=cos 2α; =tan 2α. ④升幂缩角变换: 1+cos α=2cos2,1-cos α=2sin2. 解:因为≤α<,所以≤α+<. 因为cos(α+)>0,所以<α+<. 所以sin(α+)=-=-=-. 所以cos 2α=sin(2α+)=2sin(α+)cos(α+)=2×(-)×=-,