第4章 2 两角和与差的三角函数公式-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册同步全程学习全书word（北师大版）

§2　两角和与差的三角函数公式 2.1　两角和与差的余弦公式及其应用 2.2　两角和与差的正弦、正切公式及其应用 学习目标 1.通过两角差的余弦公式的推导过程,能从两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦公式,发展数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养. 2.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式,发展逻辑推理、数学运算的核心素养. 3.掌握用两角和与差的三角函数公式求值、化简,提升逻辑推理、数学运算的核心素养. 某城市的电视发射塔CD建在市郊的一座小山上.如图所示,在地平面上有一点A,测得A,C两点间距离约为60 m,从点A观测电视发射塔的视角(∠CAD)约为45°,∠CAB=15°,求这座电视发射塔的高度. 设电视发射塔的高度CD=x,则AB=ACcos 15°=60cos 15°,BC=ACsin 15°=60sin 15°,BD=ABtan 60°=60cos 15°tan 60°=60cos 15°,所以x=BD-BC=60cos 15°-60sin 15°,如果能求出cos 15°,sin 15°的值,就可求出电视发射塔的高度了. 探究:30°=60°-30°,那么cos 30°=cos 60°-cos 30°吗?类似的15°=45°-30°,那么cos 15°=cos 45°-cos 30°吗?∀α,β∈R,则cos (α-β)=cos α-cos β吗? 提示:cos 30°≠cos 60°-cos 30°;cos 15°≠cos 45°-cos 30°;∀α,β∈R,cos (α-β)=cos α-cos β不一定成立. 问题:如图所示,设单位圆与x轴的正半轴相交于点A(1,0),以x轴非负半轴为始边作角α,β,α-β,它们的终边分别与单位圆相交于点P1,A1,P. P1,A1,P点的坐标如何表示?与有什么关系? 提示:P1(cos α,sin α),A1(cos β,sin β),P(cos (α-β),sin (α-β)),||=||. 知识点1　两角和与差的余弦公式 cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β.(Cα+β)  cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β.(Cα-β)  (1)公式中α,β可以是任意角,也可以是角的组合. (2)当α,β中含有(k∈Z)形式时,可以直接使用诱导公式求解. (3)公式的特点:公式左边是差角的余弦,公式右边的式子是含有同名弦函数之积的和式,可用口诀“余余,正正,号相反”记忆公式. 知识点2　两角和与差的正弦公式 sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β.(Sα+β)  sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β.(Sα-β)  思考:公式sin (α+β)=sin α+sin β能成立吗? 提示:当α,β,α+β中至少有一个为2kπ(k∈Z)时,公式sin (α+β)=sin α+sin β成立. 知识点3　两角和与差的正切公式 tan(α+β)=.(Tα+β) tan(α-β)=.(Tα-β) 两角和与差的正切公式的变形 在运用两角和与差的正切公式时,要注意公式的正用、逆用、变形用. tan (α+β)(1-tan αtan β)= tan α+tan β; tan α+tan β+tan αtan βtan (α+β)=tan(α+β); tan αtan β=1-; tan α-tan β=tan (α-β)(1+tan αtan β); tan α-tan β-tan αtan βtan (α-β)=tan(α-β); tan αtan β=-1. 　利用两角和与差的公式给角求值 角度1　直接逆用或正用公式求值 [例1] 求值:cos(x+20°)cos(x-40°)+cos(x-70°)sin(x-40°). 解:原式=cos(x+20°)cos(x-40°)+cos[-90°+(x+20°)]sin (x-40°) =cos(x+20°)cos(x-40°)+sin(x+20°)sin(x-40°) =cos[(x+20°)-(x-40°)]=cos 60°=. 涉及正弦、余弦的积的和与差问题时,应考虑转化为逆用两角和与差的正弦、余弦公式. 在逆用公式时,要紧紧抓住公式的特点,必要时使用诱导公式的变形,使之符合公式的特征,有时还可以把三角函数式的系数作为特殊值转化为特殊角. [针对训练1] sin 75°cos 30°-sin 15°sin 150°的值为(　　) A.1 B. C. D. 解析:sin 75°=sin(90°-15°)=cos 15°,sin 150°=sin(180°-30°)=sin 30°,因此sin 75°co