第4章 1 同角三角函数的基本关系-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册同步全程学习全书word（北师大版）

§1　同角三角函数的基本关系 1.1　基本关系式 1.2　由一个三角函数值求其他三角函数值 1.3　综合应用 学习目标 1.理解同角三角函数的基本关系式,培养数学抽象、逻辑推理的核心素养. 2.通过学习三角函数关系式,能由一个三角函数值求其他三角函数值,提高数学运算、逻辑推理的核心素养. 问题1:写出下列各角的三角函数值,观察它们的值,猜想它们之间的联系. sin α cos α tan α sin2α+cos2α 30° 45° 60° 提示:所给角的三角函数值如表 sin α cos α tan α sin2α+cos2α 30° 1 45° 1 1 1 60° 1 由表可以看出:sin230°+cos230°=1,=tan 30°, sin245°+cos245°=1,=tan 45°, sin260°+cos260°=1,=tan 60°. 问题2:设角α的终边与单位圆交于点P(x,y),根据三角函数的定义知y=sin α,x=cos α,=tan α.你能否根据x,y之间的关系得到sin α,cos α,tan α 之间的关系呢? 提示:sin2α+cos2α=1,=tan α. 知识点　同角三角函数的基本关系式 同角三角函数的基本关系式如表: 关系式 文字表述 平方 关系 sin2α+cos2α=1 同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1 商数 关系 =tan α 同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切 思考:同角三角函数的基本关系式对任意角都成立吗? 提示:sin 2α+cos2α=1对一切α∈R恒成立,而 tan α=仅对α≠+kπ(k∈Z)成立. (1)注意“同角”,这里“同角”有两层含义,一是“角相同”,二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立,即与角的表达形式无关,如sin23α+cos23α=1成立,但是sin2α+cos2β=1就不一定成立. (2)sin2α是(sin α)2的简写,读作“sin α的平方”,不能将sin 2α写成sin α2,前者是α的正弦值的平方,后者是α2的正弦值,两者是不同的,要弄清它们的区别,并能正确书写. 　应用三角函数关系式求值 角度1　根据一个角的三角函数值求其他的三角函数值 [例1] 若tan α=-,求sin α的值. 解:因为tan α=-<0,所以α是第二、第四象限角. 由可得sin 2α=()2. 当α是第二象限角时,sin α=;当α是第四象限角时,sin α=-. 利用同角三角函数的基本关系解决求值问题的方法 (1)已知角α的某一种三角函数值,求角α的其余三角函数值,要注意公式的合理选择,一般是先选用平方关系,再用商数关系. (2)若角α所在的象限已经确定,求另两种三角函数值时,只有一组结果;若角α所在的象限不确定,应分类讨论,一般有两组结果. [针对训练1] 若α为第二象限角,且sin α=,则tan α=(　　) A.2 B.-2 C. D.- 解析:因为α为第二象限角,所以cos α=-=-,则tan α==-. 故选D. [针对训练2] 已知cos α=-,求sin α,tan α的值. 解:因为cos α=-<0,所以α是第二、第三象限角. 若α是第二象限角,则sin α>0,tan α<0, 所以sin α===, 所以tan α==-; 若α是第三象限角,则sin α<0,tan α>0, 所以sin α=-=-=-, 所以tan α==. 角度2　由角的正切值,求齐次式的值 [例2] 已知tan α=-,求下列各式的值: (1);(2)2sin αcos α+cos 2α. 解:(1)===. (2)2sin αcos α+cos2α====. 已知tan α,求关于sin α和cos α齐次式的值的基本方法 (1)形如的分式,可将分子、分母同时除以cos α;形如的分式,可将分子、分母同时除以cos2α,将正弦、余弦函数转化为正切函数,从而求值. (2)形如asin2 α+bsin αcos α+ccos2α的式子,可将其看成分母为1的分式,再将分母1变形为sin2α+cos2α,转化为形如的分式求解. [针对训练1] (2021·江西宜春高一期末)已知tan α=,则的值为(　　) A. B. C. D. 解析:====.故选B. [针对训练2] 已知3sin α+4cos α=0. (1)求sin αcos α的值; (2)求的值. 解:(1)因为3sin α+4cos α=0, 所以tan α=-, 所以sin αcos α====-.