第4章 2 两角和与差的三角函数公式-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册同步全程学习课件PPT（北师大版）

§2　两角和与差的三角函数公式 2.1　两角和与差的余弦公式及其应用 2.2　两角和与差的正弦、正切公式及其应用 数学 学习目标 1.通过两角差的余弦公式的推导过程,能从两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦公式,发展数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养. 2.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式,发展逻辑推理、数学运算的核心素养. 3.掌握用两角和与差的三角函数公式求值、化简,提升逻辑推理、数学运算的核心素养. 数学 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 数学 知识梳理·自主探究 情境导入 数学 探究:30°=60°-30°,那么cos 30°=cos 60°-cos 30°吗?类似的15°= 45°-30°,那么cos 15°=cos 45°-cos 30°吗?∀α,β∈R, 则cos (α-β)=cos α-cos β吗? 提示:cos 30°≠cos 60°-cos 30°;cos 15°≠cos 45°-cos 30°; ∀α,β∈R,cos (α-β)=cos α-cos β不一定成立. 数学 知识探究 问题:如图所示,设单位圆与x轴的正半轴相交于点A(1,0),以x轴非负半轴为始边作角α,β,α-β,它们的终边分别与单位圆相交于点P1,A1,P. 数学 知识点1　两角和与差的余弦公式 cos(α+β)=cos αcos β- .(Cα+β)  cos(α-β)=cos αcos β+ .(Cα-β)  sin αsin β sin αsin β 数学 拓展总结 (1)公式中α,β可以是任意角,也可以是角的组合. (3)公式的特点:公式左边是差角的余弦,公式右边的式子是含有同名弦函数之积的和式,可用口诀“余余,正正,号相反”记忆公式. 数学 知识点2　两角和与差的正弦公式 sin(α+β)=sin αcos β+ .(Sα+β)  sin(α-β)=sin αcos β- .(Sα-β)  思考:公式sin (α+β)=sin α+sin β能成立吗? 提示:当α,β,α+β中至少有一个为2kπ(k∈Z)时,公式sin (α+β)= sin α+sin β成立. cos αsin β cos αsin β 数学 数学 拓展总结 数学 师生互动·合作探究 探究点一 利用两角和与差的公式给角求值 角度1　直接逆用或正用公式求值 [例1] 求值:cos(x+20°)cos(x-40°)+cos(x-70°)sin(x-40°). 数学 方法总结 涉及正弦、余弦的积的和与差问题时,应考虑转化为逆用两角和与差的正弦、余弦公式. 在逆用公式时,要紧紧抓住公式的特点,必要时使用诱导公式的变形,使之符合公式的特征,有时还可以把三角函数式的系数作为特殊值转化为特殊角. 数学 数学 数学 角度2　利用和差公式及角的变形给值求值 数学 方法总结 解决三角函数的给值求值问题的关键是寻求“已知角”与“所求角”之间的关系,用“已知角”表示“所求角”. (1)已知角为两个时,待求角一般表示为已知角的和与差. (2)已知角为一个时,待求角一般与已知角成“倍”的关系或“互余、互补”关系. (3)对于角还可以进行配凑,常见的配凑技巧有: ①α=(α+β)-β; ②α=β-(β-α); 数学 ⑥α-γ=(α-β)+(β-γ)等. 角的代换的实质是根据解题的需要把角看活,要在“活”字上做文章. 数学 数学 角度3　利用正切函数的变形式求值 [例3] (1-tan 11°)(1-tan 47°)(1-tan 88°)(1-tan 124°)等于(　　) A.2 B.-2 C.4 D.-4 数学 方法总结 数学 数学 探究点二 利用和差公式给值求角 数学 方法总结 (1)求解给值求角问题的一般步骤. ①求角的某一个三角函数值; ②确定角的范围; ③根据角的值及范围确定角的值. (2)在求角的某个三角函数值时,应注意根据条件选择恰当的函数. ①已知正切函数值,选正切函数; 数学 数学 当堂检测 A 数学 B 数学 A 数学 数学 备用例题 数学 [例2] 已知a,b是两个不共线的向量,且a=(cos α,sin α),b=(cos β, sin β). (1)求证:a+b与a-b垂直; (1)证明:因为a2=cos2α+sin2α=1,b2=cos2β+sin 2β=1, 所以(a+b)·(a-b)=a2-b2=0, 即(a+b)⊥(a-b). 数学 [例2] 已知a,b是两个不共线的向量,且a=(cos α,sin α),b=(cos β, sin β). 数学 [例3] 已知s