第2章 平面向量及其应用 章末总结-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册同步全程学习全书word（北师大版）

章末总结 　　　　　　 　　　　　 　　　　　 [知识辨析] 判断对错.(正确的画“√”,错误的画“×”) 1.零向量没有方向.(　×　) 2.求任意两个非零向量的和都可以用平行四边形法则.(　×　) 3.若b是a的相反向量,则a与b一定不相等.(　×　) 4.-=.(　×　) 5.若a≠0,λ≠0,则a与-λa的方向相反.(　×　) 6.两个向量的数量积满足交换律、消去律.(　×　) 7.0·a=0.(　×　) 8.相等的向量的坐标都相同.(　√　) 9.在△ABC中,三边一角随便给出三个,可求剩余一个.(　√　) 10.任意给出三角形的三个元素,都能求出其余元素.(　×　) 题型一　平面向量的线性运算 [例1] 如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,点M,N分别是DA,BC的中点,且=k,设=e1,=e2,以e1,e2为一组基表示向量,,. 解:因为=e2,且=k,所以=k=ke2. 因为+++=0,所以=---=-++=e1+(k-1)e2. 又因为+++=0,且=-, =,所以=---= -++=e2. 平面向量的线性运算及运算律 (1)向量线性运算的结果仍是一个向量,因此对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意大小、方向两个方面. (2)平面向量的加法满足交换律、结合律,向量加法是由三角形法则定义的,要点是“首尾相连”,即+=,而向量加法的平行四边形法则:将两向量移至共起点,分别为邻边作平行四边形,则同起点对角线的向量即为向量的和. (3)向量减法的实质是向量加法的逆运算,是相反向量的运用. 几何意义有两个:一是以减向量的终点为起点,被减向量的终点为终点的向量;二是加法的平行四边形法则的另外一条对角线的向量,注意两向量要移至共起点. (4)数乘运算即通过实数与向量的乘积,实现同向或反向上向量长度的伸缩变换. 题型二　向量的坐标运算 [例2] 已知向量=(4,3),=(-3,-1),点A(-1,-2). (1)求线段BD的中点M的坐标; (2)若点P(2,y)满足=λ(λ∈R),求y与λ的值. 解:(1)设点B的坐标为(x1,y1). 因为=(4,3),A(-1,-2),所以(x1+1,y1+2)=(4,3), 所以所以 所以B(3,1).同理可得D(-4,-3). 设线段BD的中点M的坐标为(x2,y2), 则x2==-,y2==-1,所以M(-,-1). (2)由已知得=(3,1)-(2,y)=(1,1-y), =(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4). 又=λ,所以(1,1-y)=λ(-7,-4), 则所以 (1)向量的坐标表示实际上是向量的代数表示,引入向量的坐标表示后,向量的运算完全化为代数运算,实现数与形的统一. (2)求解向量的坐标运算问题,要熟悉向量的坐标与运算法则. 题型三　平面向量的数量积 [例3] 已知向量a,b满足|a|=2,(a+b)·a=2,|a-b|=2,向量a-b与b的夹角为(　　) A. B. C. D. 解析:|a|=2,(a+b)·a=2,则a2+a·b=2, 得a·b=-2, 由|a-b|=2,得a2-2a·b+b2=12, 得|b|=2, 设向量a-b与b的夹角为θ,cos θ====-, 又θ∈[0,π],所以θ=.故选D. (1)数量积的定义(直接应用求数量积)及其变形(求两向量夹角的余弦)、数量积的运算律、数量积性质. (2)两向量垂直的充要条件是其数量积为零. (3)向量a在向量b方向上的投影数量(或直接称为投影)是a乘a与b夹角的余弦值,而向量a在向量b方向上的投影向量是其投影数量乘向量b方向上的单位向量. 题型四　解三角形 [例4] 在△ABC中,∠A=60°,c=a. (1)求sin C的值; (2)若a=7,求△ABC的面积. 解:(1)在△ABC中,因为∠A=60°,c=a, 所以由正弦定理得sin C==×=. (2)因为a=7,所以c=a=×7=3, 由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得 72=b2+32-2b×3×,解得b=8或b=-5(舍去), 所以△ABC的面积S=bcsin A=×8×3×=6. (1)解三角形的一般方法. ①已知两角和一边,如已知A,B和c,由A+B+C=π求C,由正弦定理求a,b. ②已知两边和这两边的夹角,如已知a,b和C,应先用余弦定理求c,再应用正弦定理先求较短边所对的角,然后利用A+B+C=π,求另一角. ③已知两边和其中一边的对角,如已知a,b和A,应先用正弦定理求B,由A+B+C=π求C,再由正弦定理或余弦定理求c,要注意解可能有多种情况. ④已知三边a,b,c,可应用余弦定理求A,B,C. (2)一般地,正弦、余弦定理与三角形的面积有关的综合问题,常利用面积公式S=absin C=ac