第4章 1 同角三角函数的基本关系-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册同步全程学习课件PPT（北师大版）

第四章　三角恒等变换 §1　同角三角函数的基本关系 1.1　基本关系式 1.2　由一个三角函数值求其他三角函数值 1.3　综合应用 数学 学习目标 1.理解同角三角函数的基本关系式,培养数学抽象、逻辑推理的核心素养. 2.通过学习三角函数关系式,能由一个三角函数值求其他三角函数值,提高数学运算、逻辑推理的核心素养. 数学 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 数学 知识梳理·自主探究 知识探究 问题1:写出下列各角的三角函数值,观察它们的值,猜想它们之间的联系. 数学 提示:所给角的三角函数值如表 数学 数学 知识点　同角三角函数的基本关系式 同角三角函数的基本关系式如表: 平方和 tan α 商 正切 思考:同角三角函数的基本关系式对任意角都成立吗? 数学 拓展总结 (1)注意“同角”,这里“同角”有两层含义,一是“角相同”,二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立,即与角的表达形式无关,如sin23α+cos23α=1成立,但是sin2α+cos2β=1就不一定成立. (2)sin2α是(sin α)2的简写,读作“sin α的平方”,不能将sin 2α写成sin α2,前者是α的正弦值的平方,后者是α2的正弦值,两者是不同的,要弄清它们的区别,并能正确书写. 数学 师生互动·合作探究 探究点一 应用三角函数关系式求值 角度1　根据一个角的三角函数值求其他的三角函数值 数学 方法总结 利用同角三角函数的基本关系解决求值问题的方法 (1)已知角α的某一种三角函数值,求角α的其余三角函数值,要注意公式的合理选择,一般是先选用平方关系,再用商数关系. (2)若角α所在的象限已经确定,求另两种三角函数值时,只有一组结果;若角α所在的象限不确定,应分类讨论,一般有两组结果. 数学 数学 数学 角度2　由角的正切值,求齐次式的值 (2)2sin αcos α+cos 2α. 数学 方法总结 数学 数学 [针对训练2] 已知3sin α+4cos α=0. (1)求sin αcos α的值; 数学 [针对训练2] 已知3sin α+4cos α=0. 数学 角度3　利用sin α±cos α与sin αcos α的关系求值 数学 方法总结 由(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α,(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α可知,如果已知sin α+cos α,sin α-cos α,sin αcos α三个式子中任何一个的值,那么就可以利用平方关系求出其余的两个.涉及的三角恒等式有: ①(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ; ②(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ; ③(sin θ+cos θ)2+(sin θ-cos θ)2=2; ④(sin θ-cos θ)2=(sin θ+cos θ)2-4sin θcos θ. 数学 答案:16 数学 数学 探究点二 利用同角三角函数关系式化简三角函数式 数学 数学 方法总结 化简三角函数值的方法 (1)化切为弦,即把非正弦、余弦的函数都化成正弦、余弦函数,从而减少函数名称,达到化简的目的. (2)对于含有根号的,常把根号下化成完全平方式后去根号. (3)对于化简含高次的三角函数式,往往借助于因式分解,或构造sin2α+ cos2α=1,以降低函数次数,达到化简的目的. 数学 数学 数学 数学 当堂检测 B 数学 B 解析:由商数关系可知A,D项均不正确,当α为第二象限角时,cos α<0, sin α>0,故B项正确,C项不正确.故选B. 数学 B 数学 数学 备用例题 数学 数学 [例3] 证明下列等式成立. (1)(cos α-1)2+sin2α=2-2cos α; 证明:(1)左边=cos2α-2cos α+1+sin2α=2-2cos α=右边. 数学 [例3] 证明下列等式成立. 数学 数学 (1)判定△ABC的形状; 数学 (2)求tan A. 数学 点击进入 课时训练·分层突破 数学 sin α cos α tan α sin2α+cos2α 30° 45° 60° sin α cos α tan α sin2α+cos2α 30° 1 45° 1 1 1 60° 1 由表可以看出:sin230°+cos230°=1,=tan 30°, sin245°+cos245°=1,=tan 45°, sin260°+cos260°=1,=tan 60°. 问题2:设角α的终边与单位圆交于点P(x,y),根据三角函数的定义知y