第2章 6 平面向量的应用-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册同步全程学习全书word（北师大版）

6.2　平面向量在几何、物理中的应用举例 学习目标 1.了解向量方法在解决简单的几何问题、力学问题等实际问题中的应用,提升数学运算和直观想象的核心素养. 2.通过运用向量知识解决实际问题和物理问题的过程,培养数学建模、数学运算的核心素养. 　向量在研究几何问题中的应用 [例1] 利用向量的数量积证明长方形的两条对角线相等. 证明:如图,在长方形ABCD中,AD=BC,AB=CD,AD⊥AB. 因为=+, 所以||2=||2+2·+||2=||2+||2. 又因为=+, 所以||2=||2+||2=||2+||2. 所以||2=||2,即AC=BD. 所以长方形的两条对角线相等. 用向量法解决平面几何问题的两种方法 (1)几何法:选取适当的一组基(基中的向量尽量已知模或夹角),将题中涉及的向量用基向量表示,利用向量的运算法则、运算律或性质计算. (2)坐标法:建立平面直角坐标系,实现向量的坐标化,将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算. [针对训练] 在△ABC中,∠C=90°,D是AB的中点,用向量法证明CD=AB. 证明:如图所示, 设=a,=b, 则a与b的夹角为90°, 故a·b=0. 因为=b-a,=(a+b), 所以||=|a+b|= = =, ||=|b-a|= = =. 所以||=||, 即CD=AB. 　向量在物理中的应用 [例2] (2021·江苏苏州高一期中)如图,已知一条河的两岸平行,河的宽度为d,某人从河的北岸出发到河对岸,河水自西向东流速为|v0|=1 m/s,设某人在静水中游泳的速度为v1,在流水中实际速度为v2. (1)如果要使此人游的路程最短,且|v1|= m/s,求此人游泳的方向与水流方向的夹角α和 v2的大小; (2)如果要使此人游的时间最短,且|v2|=2 m/s,求他实际前进的方向与水流方向的夹角β和v1的大小. 解:(1)如果要使此人游的路程最短, 只需此人的游泳速度和水流速度的和速度与对岸垂直,如图(1)所示, 此人游泳的方向与水流方向的夹角α=∠ACB, 此时|v2|==1 m/s, α=∠ACB=. (2)如图(2)所示,设v0与v1的夹角为θ,v0与v2的夹角为β,实际游泳的距离为s, 所以=,sin β=, 所以==, 故当v0与v1的夹角为θ=时,此人游泳到对岸用时最短. 如图(3),|v2|=2 m/s, 由于|v0|=1 m/s, 故|v1|== m/s, 此时tan β=, 所以β=. 向量在物理中的应用 (1)求力向量、速度向量常用的方法:一般是向量几何化,借助于向量求和的平行四边形法则求解. (2)用向量方法解决物理问题的步骤: ①把物理问题中的相关量用向量表示; ②转化为向量问题的模型,通过向量运算解决问题; ③结果还原为物理问题. [针对训练] 如图,某地南北两岸平行,江面的宽度d=1 km,一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸.假设游船在静水中的航行速度v1的大小为|v1|=10 km/h,水流速度v2的大小为|v2|=4 km/h,设v1和v2的夹角为θ,北岸A′在A的正北方向. (1)当θ=120°时,判断游船航行到北岸时的位置是在图中A′的左侧还是右侧,并说明理由; (2)当cos θ多大时,游船能到达A′处?需航行多长时间? 解:(1)θ=120°时,游船水平方向的速度大小为|v1|cos(180°-θ)-|v2|=1 km/h,方向水平向左,故最终到达北岸时游船在A′点的左侧. (2)若游船能到A′处,则有|v2|=|v1|cos(180°-θ), 则有cos θ=-cos(180°-θ)=-=-, 此时游船垂直江岸方向的速度|v|=|v1|sin θ=2 km/h, 时间t== h. 　　　　　　 　　　　　 　　　　　 1.若向量=(2,2),=(-2,3)分别表示两个力F1,F2,则|F1+F2|为(　D　) A.(0,5) B.(4,-1) C.2 D.5 解析:由=(2,2),=(-2,3),可知+=(2,2)+(-2,3)=(0,5),|F1+F2|=5.故选D. 2.河水的流速为2 m/s,一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s的速度驶向对岸,则小船在静水中的速度大小为(　B　) A.10 m/s B.2 m/s C.4 m/s D.12 m/s 解析:由题意知|v水|=2 m/s,|v船|=10 m/s,作出示意图如图. 所以小船在静水中的速度大小|v|===2(m/s).故选B. 3.已知A,B,C,D四点的坐标分别是(1,0),(4,3),(2,4),(0,2),则四边形ABCD为(　A　) A.梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形 解析:由题意知,=(3,3),=(2,2),所以∥,又因为||≠||,所