第2章 4 平面向量基本定理及坐标表示-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册同步全程学习全书word（北师大版）

§4　平面向量基本定理及坐标表示 4.1　平面向量基本定理 学习目标 1.了解平面向量基本定理的含义和基的含义,提升数学运算及逻辑推理的核心素养. 2.能够借助平面向量基本定理,用基表示向量,发展直观想象与数学运算的核心素养. 知识点　平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理. 如果e1和e2是同一平面内两个不共线的向量,那么对该平面内任意一个向量a,存在唯一的一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2. (2)基、正交基和标准正交基. 我们把不共线的向量e1和e2叫作表示这一平面向量的一组基,记为{e1,e2}.若基中的两个向量互相垂直,则称这组基为正交基.在正交基下向量的线性表示称为正交分解.若基中的两个向量是互相垂直的单位向量,则称这组基为标准正交基. 思考1:设e1,e2是平面向量的一组基,则e1,e2中可能有零向量吗? 提示:由于零向量和任一向量共线,这不符合基中的向量特征,因此e1,e2中不能有零向量. 思考2:平面向量的基唯一吗? 提示:不唯一,平面内任何不共线的两个向量均可以作为基. 思考3:如何理解平面向量基本定理中实数对的唯一性? 提示:设e1,e2是平面向量的一组基,假设平面内的任意一个向量p有两种表示p=x1e1+y1e2,且p=x2e1+y2e2,则两式左右两边相减可得0=(x1-x2)e1+(y1-y2)e2,由于e1,e2不共线,因此所以x1=x2,y1=y2,即平面向量基本定理中实数对是唯一的. 　基的理解 [例1] 如果e1,e2是平面α内一组不共线的向量,那么下列四组向量中,不能作为平面内所有向量的一组基的是(　　) A.e1与e1+e2 B.e1-2e2与e1+2e2 C.e1+e2与e1-e2 D.e1+3e2与6e2+2e1 解析:对于A,设e1+e2=λe1,则所以无解; 对于B,设e1-2e2=λ(e1+2e2),则所以无解;对于C,设e1+e2=λ(e1-e2),则所以无解;对于D,设e1+3e2=λ(6e2+2e1),则解得λ=,所以两向量是共线向量,故D中向量不能作为平面内所有向量的一组基.故选D. 关于平面内基的理解 两个向量能否作为一组基,关键是看这两个向量是否共线.若共线,则不能作为一组基,反之,则可作为一组基. [针对训练] 已知e1,e2是不共线的非零向量,则以下向量可以作为一组基的是(　　) A.a=0,b=e1+e2 B.a=3e1+3e2,b=e1+e2 C.a=e1-2e2,b=e1+e2 D.a=e1-2e2,b=2e1-4e2 解析:对于A,零向量与任一向量均共线,所以这两个向量不可以作为一组基;对于B,因为a=3e1+3e2,b=e1+e2,所以a=3b,所以这两个向量不可以作为一组基;对于C,设a=λb,即e1-2e2=λ(e1+e2),则所以无解,所以这两个向量不共线,可以作为一组基;对于D,因为a=e1-2e2,b=2e1-4e2,所以a=b,所以这两个向量不可以作为一组基.故选C. 　用基表示向量 角度1　利用平面图形中的基表示向量 [例2] 如图,在平行四边形ABCD中,=a,=b,H,M分别是AD,DC的中点,BF=BC,以a,b为基表示向量与. 解:在平行四边形ABCD中,=a,=b,H,M分别是AD,DC的中点,BF=BC, 所以=+=+=+=b+a,=-=+-=a+b-b=a-b. 用几何图形中的基表示向量的方法 用几何图形中的基表示向量主要是利用三角形法则或平行四边形法则,进行向量的加减法运算,因此求解时要注意适当选择向量所在的三角形或平行四边形,利用已知向量表示未知向量. [针对训练] 在四边形ABCD中,+=0,设M为线段BC的中点,N为线段AB上靠近A的三等分点,=a,=b,则向量等于(　　) A.a+b B.a+b C.a-b D.a-b 解析: 如图所示,在平面四边形ABCD中,由已知条件可得=-=,所以四边形ABCD为平行四边形,可得=.因为M为BC的中点,则=+=a+b.因为N为线段AB上靠近点A的三等分点,则==a,因此,=-=a+b-a=a+b.故选B. 角度2　用已知向量表示未知向量 [例3] 设e1,e2是平面内一组基,且a=e1+2e2,b=-e1+e2,则向量e1+e2可以表示为另一组基a,b的线性组合,即e1+e2=　　　　.  解析:因为a=e1+2e2,① b=-e1+ ② 显然a与b不共线,①+②得a+b=3e2, 所以e2=,代入②得e1=e2-b=-b=a-b,故有e1+e2=a-b+a+b=a-b. 答案:a-b 用已知不共线的向量表示未知向量主要是找到已知向量与未知向量的关系,结合平面向量基本定理用方程的思想求出未知向量. [针对训练] 向量a在基{e1,e2}下可以表示为a=2e1