第2章 3 从速度的倍数到向量的数乘-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册同步全程学习全书word（北师大版）

§3　从速度的倍数到向量的数乘 3.1　向量的数乘运算 3.2　向量的数乘与向量共线的关系 学习目标 1.掌握向量数乘的定义并理解其几何意义,发展直观想象和逻辑推理的核心素养. 2.了解向量线性运算的性质及其几何意义,提升数学运算的核心素养. 3.理解两向量共线的含义,提升数学运算和逻辑推理的核心素养. 知识点1　向量的数乘运算 (1)数乘运算的定义. 实数λ与向量a的乘积是一个向量,记为λa,满足以下条件: ①当λ>0时,向量λa与向量a的方向相同; 当λ<0时,向量λa与向量a的方向相反; 当λ=0时,0a=0. ②|λa|=|λ||a|. 这种运算称为向量的数乘. (2)数乘运算的运算律. 设λ,μ为实数,a,b为向量,则有如下的运算律: ①(λ+μ)a=λa+μa; ②λ(μa)=(λμ)a; ③λ(a+b)=λa+λb. (3)向量的线性运算. 向量的加法、减法和数乘的综合运算(其结果都是向量),通常称为向量的线性运算(或线性组合).若一个向量c由向量a,b的线性运算得出,则称向量c可以用向量a,b线性表示. (4)单位向量:在非零向量a方向上的单位向量是. (1)关于λa的理解: ①数乘向量定义的实质. a.条件:一个实数与一个向量相乘. b.结论:结果为一个向量,其模等于这个实数的绝对值与这个向量模的乘积,其方向与实数的正负有关. ②从两个角度看数乘向量. a.代数角度: (ⅰ)λ是实数,a是向量,它们的积仍然是向量; (ⅱ)λa=0的条件是λ=0或a=0. b.几何角度:(ⅰ)当|λ|>1时,有|λa|>|a|,这意味 着表示向量a的有向线段在原方向(λ>1)或反方向(λ<-1)上伸长到|a|的|λ|倍; (ⅱ)当0<|λ|<1时,有|λa|<|a|,这意味着表示向量a的有向线段在原方向(0<λ<1)或反方向(-1<λ<0)上缩短到|a|的|λ|倍. (2)对数乘向量的运算律的两点说明. ①数乘向量运算律满足的条件:三种运算律中的λ与μ都是实数. ②实数与向量可以求积,但是不能进行加减运算. 知识点2　共线(平行)向量基本定理 给定一个非零向量b,则对于任意向量a,a∥b的充要条件是存在唯一一个实数λ,使a=λb. 思考:在共线(平行)向量基本定理中,为什么要求b≠0? 提示:若b=0,当a≠0时不存在实数λ;若b=0,且a=0时实数λ可以有无数个值. 在共线(平行)向量基本定理中: (1)a=λb时,通常称为a能用b表示. (2)其中的“唯一”指的是,如果还有a=μb,则有λ=μ. 　向量数乘的理解与应用 [例1] (2022·内蒙古阿拉善盟高一期末) 如图,在等腰梯形ABCD中,AB=BC=CD=3AD,点E为线段CD上靠近D的三等分点,点F为线段BC的中点,则=(　　) A.-+ B.+ C.+ D.- 解析:由题可得,=+=+=+(++)=+(-++)=+.故选B. 由平面图形中的已知向量表示未知向量的方法 用图形中的已知向量表示所求向量,应结合已知和所求,联想三角形法则以及向量加法、减法和数乘以及几何图形的性质、定理,将所求向量反复分解,直到全部可以用已知向量表示,其实质是向量线性运算的反复应用. [针对训练] 在平行四边形ABCD中,E为BC的中点,F为AE的中点,则=(　　) A.- B.- C.+ D.+ 解析:如图所示.因为四边形ABCD为平行四边形,E为BC的中点,F为AE的中点, 所以=-=-=(+)-=+)-=-. 故选A. 　向量的线性运算 [例2] 计算. (1)(a+2b)+(3a-2b)-(a-b); (2)[(3a+2b)-a-b]-[a+(b+a)]. 解:(1)(a+2b)+(3a-2b)-(a-b) =a+b+a-b-a+b =(+-)a+(-+)b =a+b. (2)[(3a+2b)-a-b]-[a+(b+a)] =a+b)-(a+b) =a+b-a-b =0. 向量数乘运算的方法 (1)向量的数乘运算类似于多项式的代数运算,实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用,但是在这里的“同类项”“公因式”指向量,实数看作是向量的系数. (2)向量也可以通过列方程来解,把所求向量当作未知数,利用解代数方程的方法求解,同时在运算过程中要多注意观察,恰当运用运算律,简化运算. 易错警示:由于向量的线性运算的结果是一个向量,因此涉及结果为零向量时,要将结果写为向量0而不是实数0. [针对训练1] 已知向量a,b,x,且(x-2a)-(3b-x)=x-(2a+3b),则x=　　　　　.  解析:由(x-2a)-(3b-x)=x-(2a+3b),得2x-2a-3b=x-2a-3b,即x=0. 答案:0 [针对训练2] 计算下列各式. (1)