第2章 2 从位移的合成到向量的加减法-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册同步全程学习全书word（北师大版）

§2　从位移的合成到向量的加减法 2.1　向量的加法 2.2　向量的减法 学习目标 1.掌握向量加、减法的运算,并理解其几何意义,发展抽象概括的核心素养. 2.掌握向量加法的三角形法则、平行四边形法则、多边形法则的适用范围,并能应用向量加法的运算律进行相关运算,发展直观想象的核心素养. 3.通过学习向量加法的运算律,提升逻辑推理的核心素养. 知识点1　向量加法的定义 (1)向量加法的定义. 求两个向量和的运算,称为向量的加法. (2)求两个向量和的作图方法. ①平行四边形法则:已知两个不共线的向量a,b,如图,在平面内任取一点A,作有向线段=a,=b,以有向线段和为邻边作▱ABCD,则有向线段表示的向量即为向量a与b的和,记作a+b.这种求两个向量和的作图方法称为向量加法的平行四边形法则. ②三角形法则:如图,作有向线段=a,以有向线段的终点为起点,作有向线段=b,连接A,C得到有向线段,也可以表示向量a与b的和.这种求两个向量和的作图方法称为向量加法的三角形法则. 向量加法的运算律. 交换律 结合律 a+b=b+a (a+b)+c=a+(b+c) 思考1:向量的平行四边形法则与三角形法则是否适合于所有的两个非零向量的和? 提示:当两向量共线时不能用平行四边形法则,只能用三角形法则. 思考2:两个非零向量a,b满足|a+b|=|a|+|b|时的条件是什么? 提示:向量a,b同向共线. (1)向量加法的多边形法则: 已知n个向量,依次把这n个向量首尾相连,以第一个向量的始点为始点,第n个向量的终点为终点的向量叫作这n个向量的和向量.这个法则叫作向量求和的多边形法则. (2)向量加法的三角形法则必须使两个向量“首尾相连”,即前一个向量的终点与后一个向量的始点重合. 知识点2　向量的减法 向量a减向量b等于向量a加上向量b的相反向量,即a-b=a+(-b).把向量a与b的起点放在点O,那么从向量b的终点B指向被减向量a的终点A,得到的向量就是a-b,如图. (1)向量减法的两个重要结论: ①如果把两个向量的始点放在一起,则这两个向量的差是以减向量的终点为始点,被减向量的终点为终点的向量. ②一个向量等于它的终点相对于点O的位置向量减去它的始点相对于点O的位置向量,或简记“终点向量减始点向量”. (2)向量加法与减法的几何意义的联系: 如图所示,以向量=a,=b为邻边作平行四边形ABCD,则两条对角线的向量为=a+b,=a-b(=b-a),这一结论在以后应用非常广泛,应该加强理解并牢记. (3)||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|的理解: ①当a,b有一个为零向量时,不等式显然成立. ②当a,b不共线时,作=a,=b,则a+b=,如图(1)所示,根据三角形的性质,“两边之和大于第三边,两边之差小于第三边”有||a|-|b||<|a+b|<|a|+|b|.同理可证||a|-|b||<|a-b|<|a|+|b|. ③当a,b非零且共线时,a.当向量a与b同向时,作法同上,如图(2)所示,此时|a+b|=|a|+|b|.b.当向量a,b反向时,不妨设|a|>|b|,作法同上,如图(3)所示,此时|a+b|=|a|-|b|. 综上所述,得不等式||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|. 注意每个等号取得的条件,|a+b|=|a|+|b|或||a|-|b||=|a-b|成立的条件是a与b同向共线;|a+b|=||a|-|b||以及|a-b|=|a|+|b|成立的条件是a与b反向共线. 　向量的加法及其运算律 [例1] 若正方形ABCD的边长为1,=a,=b,=c.试作出向量a+b+c,并求出其模的大小. 解: 如图所示,根据平行四边形法则可知,a+b=+=. 根据三角形法则,延长AC,在AC的延长线上作=,则a+b+c=+=+=. 所以|a+b+c|=||=2=2. 两个向量的和可以按照平行四边形法则、三角形法则,使用有向线段表示,解题中据此作出表示两个向量和的有向线段,即可解决相应的问题.当两个向量共线时,可以按照同向、反向两种情况作出两个向量的和,再解决相应的问题. [针对训练1] 在▱ABCD中,O是对角线的交点,下列结论正确的是(　　) A.+= B.+= C.+=+ D.+=+ 解析:根据向量加法的三角形法则,得+=,+=,所以+=+.故选C. [针对训练2] (2021·上海高一期中)在菱形ABCD中,∠BAD=60°,||=1,则|+|=　　　　.  解析: 如图,因为在菱形ABCD 中,∠BAD=60°, 所以△ABD为等边三角形, 所以|+|=||=||=1. 答案:1 　向量加法的运算律 [例2] 如图,E,F,G,H分别是梯形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,化简下列各式: (1)+