第1章 三角函数 章末总结-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册同步全程学习全书word（北师大版）

章末总结 [知识辨析] 判断对错.(正确的画“√”,错误的画“×”) 1.终边相同的角它们相差180°的整数倍.(　×　) 2.1 rad的角的大小和所在圆的半径的大小有关.(　×　) 3.函数y=sin x在第一象限内单调递增.(　×　) 4.正切函数y=tan x的定义域是{x|x≠2kπ+,k∈Z}.(　×　) 5.函数y=sin(ωx+)(ω≠0)的周期是T=.(　×　) 6.函数y=asin x+b(a≠0)的最大值是a+b.(　×　) 7.由于sin(+)=sin,则是正弦函数y=sin x的一个周期.(　×　) 8.利用图象变换作图时“先平移,后伸缩”与“先伸缩,后平移”中平移的长度一致.(　×　) 9.公式tan(α-π)=tan α中,α=不成立.(　√　) 10.若sin α>0,则α是第一、第二象限角.(　×　) 题型一　三角函数的定义 [例1] (2021·山东青岛高三一模)已知角θ终边上有一点P(tanπ,2sin(-π)),则cos θ的值为(　　) A. B.- C.- D. 解析:因为tanπ=,sin(-π)=sin(-2π-π+)=sin(-π+)=-sin(π-)=-sin=-,所以P(,-1), 故cos θ==.故选D. 只要角α的顶点在坐标原点、始边在x轴的非负半轴上,角α终边上异于坐标原点的一点Q(x,y),则sin α=,cos α=,tan α=(x≠0). 题型二　三角函数的诱导公式 [例2] 若tan(π+α)=,则等于(　　) A.1 B.7 C.-7 D.-1 解析:由tan(π+α)=,得tan α=, 所以====7.故选B. 三角函数的诱导公式有两个要点: (1)公式两端的函数名称. (2)符号.对+α(k∈Z),其中α为锐角,遵循“奇变偶不变,符号看象限”的规律,奇、偶指的是k为奇数、偶数,变与不变是指公式两端函数的名称,象限是指当α为锐角时角+α(k∈Z)所在的象限,符号是指公式右端的符号,如sin(+α),当 k=3(奇数)时,+α为第四象限角,在第四象限正弦值为负,故 sin(+α)=-cos α. 题型三　三角函数的性质 [例3] 设函数f(x)=sin(ωx-),其中0<ω<3,已知f()=0. (1)求ω以及函数y=f(x)的单调递增区间、对称轴、对称中心; (2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)在[-,]上的最小值. 解:(1)由于f(x)=sin(ωx-)以及f()=0,所以-=kπ,k∈Z,故ω=6k+2,k∈Z. 又0<ω<3,所以ω=2. 因此f(x)=sin(2x-). 由2kπ-≤2x-≤2kπ+, 得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z). 故函数f(x)的单调递增区间是[kπ-,kπ+](k∈Z). 由2x-=kπ+知x=+(k∈Z), 即函数的对称轴方程是x=+(k∈Z). 由2x-=kπ,k∈Z知x=+(k∈Z),即函数的对称中心是(+,0)(k∈Z). (2)由(1)得f(x)=sin(2x-),所以g(x)=sin(x+-)=sin(x-). 因为x∈[-,],所以x-∈[-,], 当x-=-,即x=-时,g(x)取得最小值-. 研究形如y=Asin(ωx+)(ω≠0)的函数单调性、最值、对称轴、对称中心等性质,主要是将t=ωx+看作一个整体,结合函数y=sin t的性质及A的符号求解. 题型四　三角函数的图象 [例4] 已知函数f(x)=Asin(ωx+)+B(A>0,ω>0,||<)的部分图象如图所示. (1)求f(x)的解析式,并说明函数y=f(x)的图象是如何由函数y=sin x的图象变换而得到的? (2)若当x∈[0,]时,方程f(x)=m恰有两个不同的实根,求实数m的取值范围. 解:(1)设f(x)的最小正周期为T,由函数图象可得T=-=, 所以T=,由T=得ω=3. 由解得 令3×+=2kπ,k∈Z,可得=2kπ-,k∈Z,又||<, 令k=0,可得=-. 所以f(x)=2sin(3x-)+1. 将函数y=sin x的图象,向右平移个单位长度得到函数y=sin(x-)的图象, 再将y=sin(x-)的图象,纵坐标不变,横坐标缩短为原来的得到y=sin(3x-)的图象,然后再将y=sin(3x-)的图象,横坐标不变,纵坐标伸长为原来的2倍得到函数y=2sin(3x-)的图象,再将函数y=2sin(3x-)的图象沿y轴向上平移1个单位长度而得到f(x)=2sin(3x-)+1的图象. (2)由(1)知方程f(x)=m可化为sin(3x-)=. 令t=3x-,s=,又x∈[0,], 则t∈[-,], 所以方程f