专题05 动点问题（强化题型）-【题型分层练】2022-2023学年七年级数学下册单元题型精练（北师大版）

专题05 动点问题 1．如图1，把一块含的直角三角板的边放置于长方形直尺的边上． （1）填空：　120　，　　 （2）如图2，现把三角板绕点逆时针旋转，当，且点恰好落在边上时， ①请直接写出　　，　　（结果用含的代数式表示）； ②若恰好是的倍，求的值． （3）如图1三角板的放置，现将射线绕点以每秒的转速逆时针旋转得到射线，同时射线 绕点以每秒的转速顺时针旋转得到射线，当射线旋转至与重合时，则射线、 均停止转动，设旋转时间为． ①在旋转过程中，若射线与射线相交，设交点为．当时，则　　 ②在旋转过程中，是否存在．若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1），； 故答案为：120，90； （2）①如图2， ， ， ， ， ， ， ， ； 故答案为：，； ②当时， ， 解得， 的值是30； （3）①如图： 根据题意得：，， ， ， ； 故答案为：40； ②存在，理由如下： 如图： ， ， ， 解得， 如图： ， ， ， 解得， 综上所述，的值为12或48． 2．在数学活动课上，某学习小组用三角尺拼出了如图案： （1）图①中，将一副三角尺的直角顶点叠放在一起．若，则　65　，　　． （2）图②中，将两个同样的三角尺角顶点叠放在一起，试判断与的和是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【解答】解：（1）， ， ， 故答案为：65，115； （2）与的和是定值， ， ， ． 3．在桌上放置一副三角板（忽略厚度），有两个角的顶点重合于一点，，． （1）如图1，当与重合时，写出图中互补的角（写出三对即可）． （2）绕着点转动三角板（两个三角板有重叠），的大小是否发生变化？若不发生变化，求出它的值；若发生变化，说明理由． （3）在（2）的条件下，当时，求的度数． 【解答】解：（1）由图可知，互补的角有：和，和，和； （2）的大小不发生变化，理由如下： ， ， 的大小不发生变化，它的值是； （3）设，则， ， 解得， ． 4．如图，以直线上一点为端点作射线，使，将一个直角三角形的直角顶点放在点处．（注 （1）如图①，将直角三角板绕点逆时针方向转动到某个位置，若恰好平分，求的度数； （2）如图②，将直角三角板绕点转动，如果始终在的内部，试猜想和有怎样的数量关系？并说明理由． 【解答】解：（1）平分，， ， ， ， ， ； （2）， 理由是：，， ， 即． 5．如图，为内一条射线，的余角等于它自身． （1）求的度数； （2）射线从开始，在内以的速度绕着点逆时针方向旋转，转到停止，同时射线在内从开始以的速度绕点逆时针方向旋转转到停止，设运动时间为秒． ①若，运动的任一时刻，均有，求的度数； ②为内任一射线，在①的条件下，当时，以为边所有角的度数和的最小值为 　　． 【解答】解：（1）设，则的余角， 依题意有：， ， ； （2）①运动时间为秒，则 ，，， ， 设， 又， 则有：， 解得：， ； ②当与重合时，以为边所有角的度数和的有最小值， 当时，以为边所有角的度数和的最小值为． 故答案为：． 6．如图1，已知，与互余，平分． （1）在图1中，若，求的度数； （2）在图1中，设，，请探索与之间的数量关系； （3）已知条件不变，当绕点逆时针转动到如图2的位置时，（2）中与的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请探索与之间的数量关系． 【解答】解：（1）与互余， ， 平分， ， ， ． （2）与互余， ， 平分， ； ，， ， 整理得． （3）与互余， ， 平分， ； ，， ， 整理得． 7．（1）【问题】如图①，为平角，、分别是和的平分线，求的度数，并写出的余角． （2）【拓展】如图②，，射线是内部任一射线，射线、分别平分、，则的大小为 　　（用含字母的代数式表示）； （3）【应用】如图③，，，点是射线上一动点（与点不重合），、分别平分、，分别交射线于点，．求与的差． 【解答】解：（1）射线、分别平分、， ，， ， ， 的余角有：和； （2）射线、分别平分、， ，， ， 故答案为：； （3）， ， ， ， 又、分别平分、， 由（1）结论可知， ， ， ， 即与的差为． 8．如图，，平分，点在射线上，，垂足为点，平分，交射线于点，动点从点出发沿射线运动，连结． （1）当平分时，　67.5　． （2）当时，求的度数． （3）当时，　　． （4）当时，直接写出此时的度数． 【解答】解：（1）， ， 平分， ， 平分， ， ． 故答案为：67.5． （2）如图，， ， ， ， ， ． （3）如图，， ， ， ． 故答案为：45． （4）， ， ①当在内部时，如图， 此时，； ②当在内部时，如图， 此时，； 综上，当时，的度数为或． 9．如图1，点为直线上的任意一点，过点作射线，现将一直角三角板的直角顶点放在点处