精品解析：湖南省邵阳市2023届高三下学期二模数学试题

2023年邵阳市高三第二次联考试题卷 数学 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知集合，．若“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，．若与垂直，则实数的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4. 已知函数 若存在实数，，，，满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 党的二十大报告提出全面推进乡村振兴．为振兴乡村经济，某市一知名电商平台决定为乡村的特色产品开设直播带货专场．该特色产品的热卖黄金时段为2023年2月1至4月1日，为了解直播的效果和关注度，该电商平台统计了已直播的2023年2月1日至2月5日时段的相关数据，这5天的第天到该电商平台专营店购物人数（单位：万人）的数据如下表： 日期 2月1日 2月2日 2月3日 2月4日 2月5日 第x天 1 2 3 4 5 人数y（单位：万人） 75 84 93 98 100 依据表中的统计数据，该电商平台直播黄金时间的天数与到该电商平台专营店购物的人数（单位：万人）具有较强的线性相关关系，经计算得，到该电商平台专营店购物人数与直播天数的线性回归方程为．请预测从2023年2月1日起的第38天到该专营店购物的人数（单位：万人）为（ ） A. 312 B. 313 C. 314 D. 315 6. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，半焦距为．在椭圆上存在点使得，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，在矩形中，，，平面，且，点为线段（除端点外）上的动点，沿直线将翻折到，则下列说法中正确的是（ ） A. 当点固定在线段的某位置时，点的运动轨迹为球面 B. 存点，使平面 C. 点到平面的距离为 D. 异面直线与所成角的余弦值的取值范围是 8. 若不等式对任意恒成立，则正实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 正方体中，，，则（ ） A. 为钝角 B. C. 平面 D. 直线与平面所成角的正弦值为 10. 若函数的最小正周期为，则（ ） A. B. 上单调递增 C. 在内有5个零点 D. 在上的值域为 11. 已知点为定圆上的动点，点为圆所在平面上的定点，线段的中垂线交直线于点，则点的轨迹可能是（ ） A. 一个点 B. 直线 C. 椭圆 D. 双曲线 12. 已知函数，是的导数，则（ ） A. 函数在上单调递增 B. 函数有唯一极小值 C. 函数在上有且只有一个零点，且 D. 对于任意的，，恒成立 三、填空题（本大题4小题，每小题5分，共20分） 13. 若，，，则的最小值为______． 14. 在数学中，有一个被称为自然常数（又叫欧拉数）的常数．小明在设置银行卡的数字密码时，打算将自然常数的前6位数字2，7，1，8，2，8进行某种排列得到密码．如果排列时要求两个2相邻，两个8不相邻，那么小明可以设置的不同密码共有______个． 15. 已知直线是曲线与的公切线，则直线与轴的交点坐标为______． 16. 已知数列满足，，设数列的前项和为，则数列的通项公式为______，______． 四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知为数列的前项和，，，记． （1）求数列通项公式； （2）已知，记数列的前项和为，求证：． 18. 人类从未停下对自然界探索的脚步，位于美洲大草原点处正上空的点处，一架无人机正在对猎豹捕食羚羊的自然现象进行航拍．已知位于点西南方向的草从处潜伏着一只饥饿的猎豹，猎豹正盯着其东偏北15°方向上点处的一只羚羊，且无人机拍摄猎豹的俯角为45°，拍摄羚羊的俯角为60°，假设A，B，C三点在同一水平面上． （1）求此时猎豹与羚羊之间的距离的长度； （2）若此时猎豹到点处比到点处的距离更近，且开始以的速度出击，与此同时机警的羚羊以的速度沿北偏东15°方向逃跑，已知猎豹受耐力限制，最多能持续奔跑，试问猎豹这次捕猎是否有成功的可能?请说明原因． 19. 如图所示，在四棱锥中，底面是等腰梯形，，．平面平面，为的中点，，，E，F，G分别为，，的中点． （1）求证：平面平面； （2）求平面与平面所成锐二面角的正切值． 20. 为响