第9讲第2课时《平行四边形的辅助线》教案　2022—2023学年人教版数学八年级下册

第九讲平行四边形的辅助线 [教学内容] 八年级第九讲“平行四边形的辅助线”，（第二课时) [教学目标] 知识技能 掌握平行四边形常用的辅助线的作法. 数学思考 在研究图形性质的过程中，进一步发展空间观念，经历借助图形思考问题的过程， 初步建立几何直观 问题解决 通过小组合作交流，培养学生独立思考及团队合作意识，经历从不同角度分析问 题和解决问题的方法的过程，体验解决问题方法的多样性，掌握分析问题和解决 问题的一些基本方法，在与他人合作交流的过程中，能较好地理解他人的思考方 法和结论. 情感态度 积极参与数学活动，对数学有好奇心和求知欲，感受成功的快乐，体验独自克服 困难，解决数学问题的过程，有客服困难的勇气，具备学好数学的信心 [教学重点、难点] 重点：平行四边形辅助线的作法 难点：平行四边形辅助线的作法 [教学准备] 动画多媒体语音课件 ______第二课时___ _________教学路径__ 初步性问题 探究类型之三菱形的辅助线作法 例4-如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC的平分线AD与BC交于点D，E 是AB上一点，且AE=AC，EF|BC，交AD于点F，求证：四边形CDEF是菱形． AN 师：如何证明四边形CDEF是菱形? 生：从条件出发，由AE=AC，∠CAD=∠EAD我们可通一组邻 边相等，再证四边形为平行四边形即可。 师：还有其他方法吗? 生：由AE=AC，∠CAD=∠EAD我们可连接CE，得到FD垂直平分CE，再利用全 等证明FD也被平分。 师：非常好，我们从两个不同的方向去证明四边形是菱形，同一个条件我们可以从 不同的角度去理解，菱形常见的几种辅助线的方法有：（1）作菱形的高；（2）连接 菱形的对角线。 i析： 连接CEt动画在图中作出〉交AD于点O， 根据等腰三角形三线合一的性质证明AD垂直平分CE；（下一步 手给CO用OE标上规线，然后出示文字： 证明△COD≌△EOF得到OD=OF 答案： 证明：连接CE交AD于点O，如图 由AC=AE得△ACE是等腰三角形。 AO平分∠CAE, ∴AO⊥CE,且OC=OE. .EFCD, ∴.∠EFO=∠CDO. 又，∠COD=∠EOF, .△COD≌△EOF, ∴.OF-OD, ∴.CE、DF互相垂直平分， ∴.四边形CDEF是菱形. 初步性问题 探究类型之三矩形的辅助线作法 例5如图，已知矩形ABCD内一点，PA=3,PB=4,PC=5.求PD的长 师：如何求PD的长？ 生：过点P分别作两组对边的的平行线EF、GH交AB于E,交CD于F,交BC 于点H,交AD于G,利用勾股定理证明. 师：利用方程的思想求解几何题目，充分体现了数形结合的数学思想. 解析： 过点P分别作两组对边的平行线EF、GH交AB于E,交CD于F,交BC于点 H,交AD于G (动画在图中作出， (下一步) 设PG=a,PE-b,PH=c,PF=d,(在图中作出)根据勾股定理有： PA2=a2+b2, PB2=b2+c2, PC2-c2+d, PD2-d+d2, 下-步)所以PA2+PC2=PB2+PD2 (用手修描P和同色，用手将拭B 种PD同色，在图中变色，然后再出下一行的文字 所以PD2=PA2+PC2-PB2 答案： 解：过点P分别作两组对边的平行线EF、G丑交AB于E,交CD于F,交BC 于点H,交AD于G. 由四边形ABCD是矩形，易知四边形PFCH,AEFD,EBHP是矩形， 设PG=a,PE=b,PH=C,PF=d(在图中作出)根据勾股定理有： PA2=a2+b2, PB2=b2+c2, PC2=c2+d, PD2-dra2, 所以PA2+PC2=PB2+PD2, 所以PD2=PA2+PC2-PB2-32+52-42-18, 所以PD=3√2. 初步性问题 探究类型之四正方形的辅助线作法 例6如图，过正方形ABCD的顶点B作BELAC, 且AE=AC,又CFAE.求证：∠BCF= ∠AEB. 2 师：如何证明两角之间的数量关系？ 生：（预设）根据要证的结论和已知条件我们知道即是要证∠AEB=30°. 师：如何证明∠AEB=30°？ 生：（预设）连接BD交AC于O,作AH LBE交BE于H,可证AH=AE 2 师：非常好，正方形是一种完美的几何图形，它既是轴对称图形，又是中心对称图 形.解决正方形的问题时需要作辅助线，连接正方形的对角线是解决正方形问题常 用的辅助线。 解析：（用手措一遍E,AC,再用手拉E,CF两个颜色不同，在图中给E,AG 标上短线，然后出示文学，出完文宇，用手在图中标上好∠CF和∠EF》 证明四边形AEFC是菱形得到∠ACF=∠AEF (下一步) 连接BD交AC于O,作AH⊥BE交BE于H(动画在图中作出) (下一步) 给四边形O4HB填充上红色